Perquè el punt en l’infinit representi efectivament l’infinit real es defineix en R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}
la topologia T ^ {\ displaystyle {\ hat {T}}}
formada per tots els conjunts:
- A, que són oberts de R {\ displaystyle \ mathbb {R}}
- B, que són complementaris de conjunts compactes (tancats i acotats) de R {\ displaystyle \ mathbb {R}}
.
Els conjunts A són els oberts de R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}
que no contenen el: ∞ {\ displaystyle \ infty}
mentre que els conjunts B són els que sí que ho contenen.
Sigui xn ∈ R {\ displaystyle x_ {n} \ in \ mathbb {R}}
una successió de nombres reals tals que lim n → ∞ xn = ∞ {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ infty}
. Dins el conjunt dels nombres reals, això vol dir únicament que:
∀ K > 0 ∃ m ∈ N | si n > m ⇒ x n ∉ {\ displaystyle \ forall K > 0 \ \ exists m \ in \ mathbb {N} | { \ text {si}} n > m \ Rightarrow x_ {n} \ notin}
Però aquesta mateixa condició implica en R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}
que
∀ B | ∞ ∈ B ∃ m ∈ N | si n > m ⇒ x n ∈ B {\ displaystyle \ forall B | \ infty \ in B \ \ exists m \ in N | {\ text {si}} n > m \ Rightarrow x_ {n} \ in B}
És a dir, que en R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}
s’escriu també lim n → ∞ xn = ∞ {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ infty}
. No obstant això, només en R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}
es pot dir que la successió xn {\ displaystyle x_ {n} \,}
convergeix, ja que ∞ ∉ R {\ displaystyle \ infty \ notin \ mathbb {R}}
