Punt de l’infinit

Perquè el punt en l’infinit representi efectivament l’infinit real es defineix en R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}

la topologia T ^ {\ displaystyle {\ hat {T}}}

{\ displaystyle {\ hat {T}}}

formada per tots els conjunts:

  • A, que són oberts de R {\ displaystyle \ mathbb {R}}
    \ mathbb {R}
  • B, que són complementaris de conjunts compactes (tancats i acotats) de R {\ displaystyle \ mathbb {R}}
    \ mathbb {R}

    .

Els conjunts A són els oberts de R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}} }

que no contenen el: ∞ {\ displaystyle \ infty}

\ infty

mentre que els conjunts B són els que sí que ho contenen.

Sigui xn ∈ R {\ displaystyle x_ {n} \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle x_ {n} \ in \ mathbb {R }}

una successió de nombres reals tals que lim n → ∞ xn = ∞ {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ infty}

. Dins el conjunt dels nombres reals, això vol dir únicament que:

∀ K > 0 ∃ m ∈ N | si n > m ⇒ x n ∉ {\ displaystyle \ forall K > 0 \ \ exists m \ in \ mathbb {N} | { \ text {si}} n > m \ Rightarrow x_ {n} \ notin}

{\ displaystyle \ forall K0 \ \ exists m \ in \ mathbb {N} | {\ text {si}} nm \ Rightarrow x_ {n} \ notin}

Però aquesta mateixa condició implica en R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb { R}}}}

que

∀ B | ∞ ∈ B ∃ m ∈ N | si n > m ⇒ x n ∈ B {\ displaystyle \ forall B | \ infty \ in B \ \ exists m \ in N | {\ text {si}} n > m \ Rightarrow x_ {n} \ in B}

{\ displaystyle \ forall B | \ infty \ in B \ \ exists m \ in N | {\ text {si}} nm \ Rightarrow x_ {n} \ in B}

És a dir, que en R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}

s’escriu també lim n → ∞ xn = ∞ {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} = \ infty}

. No obstant això, només en R ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {R}}}}

es pot dir que la successió xn {\ displaystyle x_ {n} \,}

{\ displaystyle x_ {n} \,}

convergeix, ja que ∞ ∉ R {\ displaystyle \ infty \ notin \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ infty \ notin \ mathbb {R}}

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *