Ponto de infinito

para que o ponto no infinito realmente represente o infinito real é definido em r {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {r}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {r}}}}

topologia t ^ \ displaystyle {\ hat {t}}}

{\ displaystyle {{{t}}}

formado por todos os conjuntos:

  • a, que estão abertos a partir de R {\ displaystyle \ mathbb {r}}
    \ mathbb {r}
  • b), que são complementares com conjuntos compactos (fechados e limitados) de R {\ displaystyle \ mathbb {R}}

    \ mathbb {r}

os conjuntos de um deles são os abertos de r \ \ displaystyle {\ hat {\ mathbb {r}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {r}}}}

que não contêm o: ∞ {\ displaystyle \ infty}

\ fraty

enquanto os conjuntos são os que eles contêm.

mar xn ∈ r {\ displaystyle x {n} \ mathbb {r}}

{\ displaystyle xn \ \ in \ mathbb {r}}

uma sucessão de números reais tal que lim n → ∞ xn = ∞ {\ displaystyle \ lim n \ incty}

{\ displaystyle \ lim n \ to \ Inty} x {n} = \ infty}

. Dentro do conjunto de números reais, isso significa apenas que:

∀ k > 0 ∃ m ∈ n | Se n > m ⇒ xn ∉ {\ displaystyle \ forall k > 0 \\ existe m \ in \ mathbb {n} | \ Texto {Si}} n > m \ righttarrow xn \ notin}

{\ displaystyle \ forall k0 \ existe m \ Em \ mathbb {n} | {\ text {si}} nm \ \ righttarrow x_ {n} \ notin}

mas o mesmo condição implica em r \ \ displaystyle {\ hat {\ mathbb {r}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb}}}

O que

∀ b | ∞ ∈ b ∃ m ∈ n | Se n > m ⇒ xn ∈ b {\ displaystyle \ forall b | \ incty \ in b \ existe m \ in n | {\ text {si}} n > m \ rightarrow xn \ {n} \ in b}

ie, em r {\ displaystyle { \ hat {\ mathbb {r}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {r}}}}

lim N → ∞ xn = ∞ {\ displaystyle} = \ incty}

{\ displaystyle \ lIM n \ to \ infty} x {n} = \ infty}

. No entanto, apenas em r {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {r}}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {r}}}}

Pode ser dito que a sucessão xn {\ displaystyle x {n} \,}

{\ displaystyle xn \,}

convergem, Desde ∞ ∉ r {\ displaystyle \ inty \ notin \ mathbb {r}}

{\ displaystyle \ enty \ notin \ mathbb {r}}

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