Le mathématicien, le physique et le philosophe Henri Poincaré (1854-1912) a eu une influence incontestable sur la science moderne. Il était très intéressé par la manière dont l’intuition mathématique était manifestée. Dans, Poincaré rappelle l’anecdote suivante:
« À ce moment-là j’ai quitté Caen, où j’ai vécu à l’époque de participer à une excursion géologique organisée par le école de mines. Les incidences du voyage m’ont fait oublier mes œuvres mathématiques. À un moment donné, nous étions dans des coutumes et nous avons dû gravir un bus pour passer à un autre site. Juste en mettant le pied sur l’étrier, sans aucun de mes Les pensées précédentes semblaient avoir plus rapidement, l’idée est venue à moi que les transformations qu’il avait utilisés pour définir les fonctions fuchsies étaient identiques à celles de la géométrie non-eucide. Je n’ai pas continué le raisonnement, pas plus que j’ai eu l’occasion, car je me suis assis dans mon siège et poursuivi une conversation préalable, mais j’étais complètement en sécurité. À mon retour, je l’ai vérifié consciencieusement par Pundonor. «
Le fragment inclus ci-dessous est extrait de la première partie de – Dédié aux sciences mathématiques – le chapitre intitulé Intuition et logique en mathématiques. Poincaré Razona sur le rôle d’intuition et de logique dans la création mathématique.
Nous recherchons la réalité, mais quelle est la réalité?
Apprenez-nous que les organismes sont formés par des cellules; Les chimistes ajoutent que les cellules elles-mêmes sont formées par des atomes. Cela signifie-t-il que ces atomes ou ces cellules constituent la réalité ou, du moins, la seule réalité? La manière dont ces cellules sont disposées et à partir de laquelle l’unité de l’individu est-elle, n’est-ce pas aussi une réalité beaucoup plus intéressante que celle des éléments isolés? Un naturaliste qui n’avait jamais étudié l’éléphant mais avec le microscope, penserait-il qu’il connaîtrait suffisamment cet animal?
Eh bien, quelque chose d’analogue arrive en mathématiques. La logique décompose, pour ainsi dire, chaque démonstration dans un très grand nombre d’opérations élémentaires; Lorsque ces opérations ont été examinées, l’une après les autres et a été prouvée que chacune d’entre elles est correcte, on aura-t-elle pensé avoir compris le vrai sens de la démonstration? De même, il aura été compris lorsque, par un effort de mémoire, nous avons formé pour la répéter, reproduire toutes ces opérations élémentaires dans le même ordenène que l’inventeur les avait placés?
évidemment, non; Nous n’avons toujours pas la réalité complète; Que je ne sais pas quelle est l’unité de démonstration, elle sera totalement échappée.
L’analyse pure met à notre disposition une multitude de procédures dont l’infaillibilité nous garantit; Il ouvre un millier de chemins différents dans lesquels nous pouvons entrer en toute confiance; Nous sommes sûrs de ne pas trouver d’obstacles en eux, mais lequel de ces routes est celle qui nous emmènera enfin plus rapidement? Qui va nous dire quoi choisir? Nous avons besoin d’une faculté qui nous fait voir l’objet de loin et que la faculté est l’intuition. Il est nécessaire que l’explorateur choisisse votre itinéraire; Ce n’est pas moins à quiconque suit ses traces et veut savoir pourquoi il l’a choisie.
Si vous participez à un jeu d’échecs, pour comprendre qu’il ne suffira pas de connaître les règles du mouvement des morceaux . Cela ne reconnaîtra que chaque mouvement a été effectué selon ces règles et cet avantage aura vraiment très peu de valeur. C’est cependant ce qu’un lecteur d’un livre de mathématiques ferait, s’il n’était pas plus que logique. Comprendre le jeu est entièrement autrement; Il est de savoir pourquoi le joueur avance un tel morceau plutôt qu’un autre qu’il aurait pu déplacer sans violer les règles du jeu. Il est d’avertir la raison intime qui rend cette série de jeux successifs une sorte de tous organisés. Avec une plus grande raison, cette faculté est nécessaire au joueur lui-même, c’est-à-dire l’inventeur.
Par exemple, voyons ce qui s’est passé avec l’idée de fonction continue. Au début, ce n’était rien de plus qu’une image sensible, par exemple celle d’une trace continue décrite avec la craie sur un tableau.Puis il a été raffiné petit à petit; Bientôt, il a été utilisé pour construire un système compliqué d’inégalités, qui reproduirait, pour ainsi dire, toutes les lignes de l’image primitive; Lorsque cette construction a été terminée, elle a été réduite, de même que de parler, cette représentation impolie a été rejetée qui lui avait momentanément servi pour le soutien et qu’il serait inutile. Il n’a pas été plus que la construction elle-même, irréprochable devant les yeux de la logique.
Cependant, si l’image primitive avait totalement disparu de notre mémoire, comment devinerions-nous pourquoi ces inégalités ont été arrangées de cette chemin, les uns des autres?
Voici comment les notions intuitives antiques de nos ancêtres, même lorsque nous les avons abandonnées, imprimez toujours leur forme à l’échafaudage logique que nous avons placé à leur place.
Tout ce tout voir cela est nécessaire à l’inventeur; Il est également nécessaire à celui qui veut vraiment comprendre l’inventeur. Pouvez-vous le donner à la logique?
Non, le nom donné par les mathématiciens suffirait à le prouver. En mathématiques, la logique est appelée analyse et analyse de la division, la dissection. Il ne peut donc pas avoir un autre outil que le scalpel et le microscope.
de cette manière, la logique et l’intuition ont chacun un papier nécessaire. Les deux sont indispensables. La logique, qui peut prendre certitude, est l’instrument de la démonstration; L’intuition est l’instrument de l’invention.
Références
Yasmina Liassine, Le Goût des mathématiques, Mercure de France, 2013
Henri Poincaré, Science et Méthode, Espasa, 1965
Henri Poincaré, la valeur de la science, SPAS, 1964
À propos de l’auteur: Marta Macho Stadler est un professeur de topologie dans le département des mathématiques de l’UPV / EHU et du collaborateur hospitalier de ZTFnews, le blog de la Faculté de la science et de la technologie de cette université.