El matemàtic, físic i filòsof Henri Poincaré (1854-1912) ha tingut una influència indubtable en la ciència moderna. S’interessava molt per la manera en la qual es manifestava la intuïció matemàtica. En, Poincaré recorda la següent anècdota:
“En aquells dies vaig sortir de Caen, on en aquell temps vivia, per participar en una excursió geològica organitzada per l’escola de mines. Les incidències de el viatge em van fer oblidar els meus treballs matemàtics. en determinat moment estàvem a Coutances i havíem de pujar a un òmnibus per desplaçar-nos a un altre lloc. Just a l’posar el peu a l’estrep, sense que cap dels meus pensaments precedents semblés haver-la propiciat, em va venir la idea que les transformacions que havia fet servir per definir les funcions fuchsianas eren idèntiques a les de la geometria no euclidiana. no vaig prosseguir el raonament, ni hagués tingut ocasió d’això, doncs em vaig asseure al meu seient i vaig continuar 01:00 conversa prèvia, però estava completament segur. al meu retorn a Caen ho vaig comprovar a consciència per punt d’honor. “
El fragment que s’inclou a continuació està extret de la primera part de – dedicada a les ciències matemàtiques-, de el capítol titulat La intuïció i la lògica en matemàtiques. Poincaré raona sobre el paper que juguen la intuïció i la lògica en la creació matemàtica.
Busquem la realitat, però què és la realitat?
els fisiòlegs ens ensenyen que els organismes estan formats per cèl·lules; els químics afegeixen que les cèl·lules mateixes estan formades per àtoms. Vol dir això que aquests àtoms o aquestes cèl·lules constitueixen la realitat o, si més no, l’única realitat? La forma en què aquestes cèl·lules estan disposades i de la qual resulta la unitat de l’individu, no és també una realitat molt més interessant que la dels elements aïllats? Un naturalista que no hagués estudiat mai a l’elefant sinó amb el microscopi, creuria conèixer prou a aquest animal?
Doncs bé, en matemàtiques passa una cosa semblant. El lògic descompon, per dir-ho així, cada demostració en un nombre molt gran d’operacions elementals; quan s’hagin examinat aquestes operacions, unes després d’unes altres, i s’hagi comprovat que cadascuna d’elles és correcta, es creurà haver comprès el veritable sentit de la demostració? ¿Així mateix, s’haurà comprès quan, per un esforç de memòria, ens hàgim capacitat per repetir-la, reproduint totes aquestes operacions elementals en el mateix ordenin que les havia col·locat l’inventor?
Evidentment, no; encara no posseirem la realitat completa; aquest no sé què que fa la unitat de la demostració, se’ns escaparà totalment.
L’anàlisi pur posa a la nostra disposició una multitud de procediments la infal·libilitat ens garanteix; ens obre mil camins diferents en què podem entrar amb tota confiança; estem segurs de no trobar obstacles en ells, però quin tots d’aquests camins és el que ens portarà més ràpidament a la fi? Qui ens dirà quin cal triar? Ens cal una facultat que ens faci veure l’objecte de lluny i aquesta facultat és la intuïció. És necessària a l’explorador per triar la seva ruta; no ho és menys a qui segueix les seves petjades i vol saber per què l’ha triat.
Si assistiu a una partida d’escacs, per a comprendre-la no us bastarà saber les regles de el moviment de les peces. Això us permetrà només reconèixer que cada jugada ha estat feta d’acord amb aquestes regles, i aquest avantatge tindrà veritablement molt poc valor. És, però, el que faria un lector d’un llibre de matemàtiques, si no fos més que lògic. Comprendre la partida és enterament una altra cosa; és saber pel jugador avança tal peça més aviat que tal altra que hauria pogut moure sense violar les regles de joc. És advertir la raó íntima que fa d’aquesta sèrie de jugades successives una espècie de tot organitzat. Amb més raó, aquesta facultat és necessària a el jugador mateix, és a dir, a l’inventor.
Per exemple, vegem el que ha passat amb la idea de funció contínua. A el principi no era més que una imatge sensible, per exemple, la d’un traç continu descrit amb guix a una pissarra.Després s’ha depurat poc a poc; aviat s’ha utilitzat per construir un complicat sistema de desigualtats, que reproduiria, per dir-ho així, totes les línies de la imatge primitiva; quan aquesta construcció va estar acabada, s’ha descimbrat, per dir-ho així, s’ha rebutjat aquesta representació grollera que momentàniament li havia servit de suport i que seria inútil des d’ara; no ha quedat més que la construcció mateixa, irreprotxable davant els ulls de la lògica.
No obstant això, si la imatge primitiva hagués desaparegut totalment del nostre record, com adivinaríamos per què caprici s’han disposat aquestes desigualtats d’aquesta manera, unes sobre les altres?
Així és com les antigues nocions intuïtives dels nostres avantpassats, tot i que les haguem abandonat, encara imprimeixen la seva forma a les bastides lògics que hem col·locat al seu lloc.
Aquesta vista de conjunt és necessària a l’inventor; és necessària igualment a aquell que vol realment comprendre a l’inventor. Pot donar-nos-la lògica?
No, el nom que li donen els matemàtics n’hi hauria prou per provar-ho. En matemàtiques, la lògica es diu anàlisi, i anàlisi vol dir divisió, dissecció. No pot tenir, doncs, una altra eina que l’escalpel i el microscopi.
D’aquesta manera, la lògica i la intuïció tenen cadascuna un paper necessari. Totes dues són indispensables. La lògica, que pot donar per si mateixa la certesa, és l’instrument de la demostració; la intuïció és l’instrument de la invenció.
Referències
Yasmina Liassine, Li goût des mathématiques, Mercure de France , 2013
Henri Poincaré, Ciència i mètode, Espasa, 1965
Henri Poincaré, El valor de la ciència, Espasa, 1964
Sobre l’autora: Marta mascle Stadler és professora de Topologia en el Departament de Matemàtiques de la UPV / EHU, i col·laboradora assídua en ZTFNews, el bloc de la Facultat de Ciència i Tecnologia de la universitat.