Astăzi publicăm în sfârșit soluția și finalistii și câștigătorul provocării infinite a pantei pe care am ridicat-o acum trei săptămâni. Prima întrebare a provocării a fost relativ simplă: care este expresia unghiului $ \ „care formează direcția mișcării obiectului cu direcția” Downhill „?
Simplitatea relativă a fost datorată, aproximativ Totul, faptul că, deși nu știm această expresie, știm valoarea inițială și valoarea ei după un timp foarte îndelungat. Inițial am fost indicați că direcția era perpendiculară pe „coborâre”, apoi $ \ theta (0) = 90 ^ {\ \ \ Circ} $, iar unghiul tinde, pe măsură ce timpul trece, să devină mai mult și mai mic, până la limita unui timp infinit ajunge la valoarea $ \ theta (\ infaty) = 0 ^ \ Circ} $ Deci, după obținerea unei expresii unghiului în funcție de timp, a fost posibil cel puțin – deși nu m-am asigurat că răspunsul este corect – verificați dacă valorile dvs. pentru un timp null și un timp foarte mare au fost cele corecte .
Mulți dintre voi ați răspuns corect la această întrebare, ceea ce a fost cerința de a primi al doilea. Cu toate acestea, unii au explicat foarte bine procesul. O explicație clară este cea a unuia dintre finaliști, José Manuel:
În primul rând, realizăm o schemă a situației și găsim expresia unghiului θ. În cazul meu am numit VX la viteză în sensul de pantă și V și la perpendicular în avion. Amintiți-vă că obiectul are o viteză inițială V0 exact în direcție și.
tan \ theta = \ Frac {v_y} {v_x} \ dreaptaarrow \ theta = Atan \ frac {v_Y} {v_x} $
În cazul ideal unde nu există nici o frecare, nici cu suprafața, nici cu aerul, ambele viteze pot fi analizate complet independent. De ce? Să ne uităm la forțele care vin în joc:
Cum vedem singurele forțe pe corp Acestea sunt gravitatea FG (descompusă în componente X și Z) și Forța normală N, care este cea care exercită planul pe corp și îl împiedică să treacă prin ea. Fără frecare, nu există o forță pe axa Y. Normal și componenta forței gravitației sunt anulate în Z, astfel încât singura forță rezultată este componenta de greutate în X. Este ceva similar cu ceea ce se întâmplă atunci când se întâmplă atunci când se întâmplă atunci când se întâmplă atunci Fotografia parabolică este studiată: compoziția a două mișcări este luată în considerare, una cu viteză constantă și o altă perpendiculară, accelerată uniform.
găsim, prin urmare, forța rezultând în X. Este suficient să cunoaștem expresia Forța gravitației și găsirea proiecției sale. Fiind m Masa obiectului YG Accelerarea gravitației:
$ f_g = mg \ dreaptaRrow f_x = mg \ α α alfa $
Aplicăm a doua lege Newton:
$ f_x = a_x m \ dreaptaRrow A_x = \ Foct {f_x} {m} $
Acum, deoarece există doar o forță constantă în această direcție, ne confruntăm cu o mișcare uniform accelerată. Precum și viteza inițială în această direcție este nul:
$ v_x = a_x t $
astfel încât:
$ v_x = g (\ păcat \ Alpha) T $
După cum se poate observa, viteza X este independentă de aluat. Cred că Galileo s-ar simți mulțumit.
Viteza de pe axă și o cunoaștem de la început. Dacă, după cum am spus, nu există forțe aplicate pe această axă, organismul va continua să se miște în această direcție cu viteza inițială (prima lege Newton).
$ V_Y = V_0 $
Prin urmare, avem deja ambele viteze. θ rămâne:
$ \ theta = Atan \ frac {v_0} {g (\ păcat} {g (\ sin \ alfa) t} $
Dacă doriți să citiți calm calm și cu formatul original, este mai bine decât cel pe care îl arăt aici, îl puteți descărca aici: JM Soluție.
Cine a răspuns corect la această întrebare primită Partea, care a fost ca aceasta:
ia în considerare următoarea modificare a problemei: situația este aceeași ca înainte, dar acum există frecare. Coeficientul dinamic de frecare cu planul înclinat este mu = tg30º (a 30-a tangent, dacă nu citește bine). Și întrebarea este – ceea ce va fi valoarea unghiului teta după un timp foarte lung, foarte lung (puteți considera infinit)?
Aici este, apropo, unde am ezitat între această întrebare Și altul și final am pus piciorul și ți-am spus că ai avut un răspuns greșit la mulți că ai avut-o bine … măgar care este una. Faptul este că răspunsul la întrebare a fost că unghiul tinde la aceeași valoare ca înainte, adică zero grade: obiectul se termină în mișcare exact în aceeași direcție ca și fără fricțiune, în direcția „coborâre”.
Înainte de includerea răspunsului unui finalist, o notă care poate fi utilizată pentru cei care au răspuns rău: forța de frecare este îndreptată întotdeauna împotriva mișcării. Unii au scris expresia forței de frecare în direcția în jos și nu în perpendicular, iar unele au inclus în ambele, dar cu valoare de 5 milioane de dolari în fiecare, dar atât un singur lucru, cât și celălalt este greșit.
De fapt, problema cu această a doua întrebare a fost că, din moment ce direcția de mișcare a corpului se schimbă în timp, direcția forței de frecare, de asemenea, astfel încât componentele sale XE și pe avion au expresii care variază în timp în funcție de viteza obiectului se rotește. Modulul forței de frecare este constant, dar adresa sa nu.
constată că, în acest caz, nu a fost întrebat, ca în prima întrebare, expresia θ în funcție de timp, dar pur și simplu valoarea sa Pe limita unui timp infinit. A fost posibil să raționați așa cum a făcut cel de-al doilea finalist, Bevender:
dacă $ \ Mu $ este Tg30 °, atunci forța de frecare este $ \ mu $ Normal = Tg 30th Cos 30º10 m / s ^ 2MASA = 5m Newtons.
Cazus modulul forței de frecare și forța de deconectare sunt aceleași (5 * masa Newtons). . Cu toate acestea, direcția este diferită, cel puțin la început, deoarece forța de frecare este paralelă cu mișcarea cu direcția opusă.
Găsiți forța de acoperiș vectorial în coordonatele mele 2D, este echivalentă cu găsirea de 5 * m (COS θ, Sen θ), unde θ este unghiul care formează mișcarea. Inclusiv efectul frecării!
Nu fac asta. Dar dacă văd clar că, în timp ce corpul se mișcă în direcția „fără coborâre”, forța de frecare va continua să se uzeze la componenta OY paralelă cu viteza inițială V0, în timp ce componenta OM va continua să aibă o accelerație pozitivă. F.CAÍDA + F.RONENT = (5M-5MCOSθ, -5MSENθ)
Cel puțin în timp ce θ este strict mai mare decât zero.
de către mic este θ, dacă este mai mare decât zero, la al doilea următor va fi chiar mai mic, iar mișcarea va deveni din ce în ce mai mare. Și acolo văd două opțiuni:
sau nu este atins zero, ci de ceea ce se spune în Paragraful anterior Limita este zero. Sau θ = 0 este atinsă, cu care forțele sunt compensate și mișcarea noastră devine o mișcare uniformă de viteză (accelerație zero).
În orice caz, obiectul ar fi terminat alunecare „în jos” la viteză constantă (sau care pare a fi destul de a fi suficient).
în cele din urmă, celor care răspund Corect Această întrebare a apărut a treia:
eficient, după foarte mult timp, obiectul se mișcă complet „în jos” și unghiul este 0. Acum vă spun ceva (deși aș vrea să-l dovediți, În timp ce nu face parte din provocare): după aceea, viteza va fi constantă. Și întrebarea finală este: Care este acea viteză constantă după o lungă perioadă de timp?
Această întrebare a fost mult mai buni decât cea precedentă, din cauza încercării de a obține o expresie de viteză în funcție de timp, a fost un monstruos a obținut înfricoșător. Înainte de această groază au existat două opțiuni: una a fost de a folosi analiza numerică (un program de calculator de casă, o foaie de calcul etc.), iar celălalt a fost de a realiza ceva foarte curios și important și acționează în consecință.
Cei doi finaliști ale căror soluții pe care le-am arătat, Bevender și José Manuel, au folosit aproximări numerice și am obținut răspunsul corect în acest mod: viteza la care obiectul tinde este jumătate din viteza cu care a început.
Dar există o demonstrație analitică elegantă, care este cea care a obținut echipa câștigătoare, formată de Mmononi și fiica sa. Ca un Max Planck, Mmonchi a câștigat numeric aceeași soluție ca și finaliștii, și îmi imaginez că, deoarece au fost surprinși de coincidența aparentă că viteza finală a fost jumătate din cele inițiale. Dar, după cum sa gândit la Planck, există puține coincidențe în fizică.
Așa că Mmonchi se uită din nou la această problemă și a găsit demonstrația elegantă pe care o las aici. Explicația soluției nu este a lui, apropo, ci a fiicei sale, al cărei nume nu îndrăznesc să pun aici pentru că am uitat să-i ceară permisiunea. Noroc, apropo, pentru examinarea ei – tatăl tău răuvoitor a folosit provocarea ca instruire pentru examenul respectiv, demonstrând astfel duritatea inimii sale -.
Bordul accentului este al meu, deoarece această frază este una Asta ar trebui să facă „pe bec” la cei care au ajuns aproape la acest lucru:
În a doua parte avem un corp care primește două forțe paralele cu suprafața planului. Prima forță corespunde gravității care acționează în direcția în jos. Acest lucru este egal cu: M · A · Sen30 ° = 5m.A doua forță corespunde fricțiunii care acționează în direcția contrară a mișcării (V (t)), care formează un unghi θ (t) cu panta. Vale tg30º · n · cos30 ° = 10m · Sen30º, care este egal cu 5m.
rezistența „coborâș” (FCA) este egală cu forța în viteza (FV), pentru care accelerarea corpului pot fi împărțite în două accelerații de valoare egală. Unul în aceeași direcție VAC și altul în direcția contrară la v.
viteza VCA (T) după un interval Δt va fi același cu VAC (T ) + AΔt, și VC (T) vor fi egale cu V (T + Δt) = V (t) -AΔt. Aceste două accelerații sunt aceleași, deci AΔt = Vac (T + Δt) -VCA (T) = V (T) -v (t + Δt). De acolo ajungem la V (t) + Vac (T) = V (T + Δt) + VCA (T + Δt), ceea ce înseamnă că suma lui V și Vac este constantă .
ca în instanta inițială V (0) = V0 și Vac (0) = 0, de asemenea, avem V + VacA = V0.
Știm prin trigonometrie că vcosθθ . De acolo venim la vtosθ = v (1 + cosθ) = v0 și deci v = v0 / (1 + cosθ).
Vrem să știm ce valoare este unghiul θ tinde. Pentru asta să ia ca o origine de coordonate un punct care se mișcă în jos, păstrând la înălțimea cu Erpo. Corpul se mișcă prin acea axă x cu o viteză inițială (V0) și se oprește în mișcarea sa, deoarece există frecare. Deoarece nu există nimic care să-și mărească viteza și se va frânge, viteza tinde la 0. După un timp suficient de lungă, viteza de pe axa X nu va fi apreciabilă față de viteza de coborâre, astfel încât unghiul care va forma viteza total cu coborârea Adresa va avea loc la 0.
, după urmare, după o perioadă foarte lungă de timp Viteza va fi V = V0 / (1 + COS0) = V0 / 2.
Puteți citi explicația completă, care include răspunsul la prima întrebare, aici.
Sper că te distrezi ca Bellacos luptând cu această provocare și că îți amintești că Un lucru important nu este de a ajunge la soluția corectă, ci pentru a da celulelor gri. Felicitări pentru finaliști și câștigători, și până la următoarea provocare!