Instruirea universitară – vol. 6 (2), 23-32 (2013)
Articole
Secvența Fibonacci și numărul de aur în ingineria electrică și analiza numerică
secvența Fibonacci și secțiunea de aur din ingineria electrică și analiza numerică
carlos Figueroa (1), Lamberto Castro (2), Jesús R. Fox (2), Manuel Lozano (2)
(1) Universitatea din Sonora, Divizia de Inginerie, Departamentul de Inginerie Industrială, Unitatea Regională AV Center. Rosales și L. Encinas, Col. Center. Cp. 83500. Hermosillo, Sonora, Mexic. (E-mail: [email protected])
(2) Universitatea din Sonora, Divizia Știință și Inginerie, Departamentul de Fizică, Matematică și Inginerie, Unitatea Regională de Sud. Lázaro Cárdenas nr. 100. C.P. 85880, NavoLoa, Sonora, Mexic
Acest articol își propune să dezvolte soluții alternative la două probleme diferite care conțin raportul AUREA: 1) într-un circuit electric cu rezistențe ohmice infinite pe care le are O soluție inductivă de secvența Fibonacci și rezultatul este, de asemenea, coroborat utilizând fracțiuni continue; și 2) În formularea Newtoniană pentru proiectarea unui con trunchiat de rezistență aerodinamică minimă, se propune o soluție numerică pentru a testa bunătatea modelului. Ambele exerciții au putere didactică la subiecți cum ar fi ingineria electrică, mecanica vectorială, analiza numerică și algebra superioară. Lucrarea reprezintă un ajutor în studiul problemelor asociate cu realizarea abilităților matematice.
Cuvinte cheie: rațiunea Aureea, Seria Fibonacci, Scară semi-infinită, Rezistența aerodinamică.
Rezumat
Prezentul articol pretinde că va dezvolta soluții alternative la două probleme diferite care conțin secțiunea de aur: 1) într-o circuit electric Infinit Ohmic rezistență Această hârtie asigură o soluție inductivă de secvența Fibonacci și rezultatele sunt coroborate utilizând fracțiunile Continue; și 2) În proiectarea unui frustum al unui con cu rezistență aerodinamică minimă la soluție numerică se propune să verifice bunătatea modelului. Ambele exerciții au putere didactică pe subiecți, cum ar fi ingineria electrică, mecanica vectorială, analiza numerică și algebra avansată. Această lucrare reprezintă contribuția la studiul subiecților asociate îmbunătățirii abilităților matematice.
Cuvinte cheie: secțiune de aur, secvență fibonacci, scară semi-infinită, rezistență aerodinamică.
Introducere
există în știința contemporană un flux de cercetare pe secvența Fibonacci și rațiunea Aureea. Principalele sale demonstrații sunt forumul: Conferința internațională privind numerele Fibonacci și revista The Fibonacci Quaterly; În plus, este disponibil în literatura de specialitate a unui set de muncă, unde mulți au produs o mare exploatări științifice ale fizicii și matematicii – este o relație cu dimensiunea fractală a Mandelbrot sau fracțiunea continuă a lui Ramanujan. Cu privire la aplicațiile sale, unul dintre cei mai entuziaști autori este Stakhov (2005), menționează în mod specific utilizarea în știință și inginerie.
Stakhov, stabilește și justifică o nouă abordare care numește matematică armonică, include teoria de numere, teoria funcțiilor hiperbolice bazate pe numerele Fibonacci, precum și pe matricele aureale; Dar cel mai interesant, el arată că această nouă teorie este sursa creativității în botanică, biologie, informatică, inginerie de sisteme în comunicare, educație în matematică și în teoria fizică a energiilor înalte. Dar, indiferent de considerentele lui Stakhov, au existat rezultate istorice abundente, cum ar fi geometria obiectelor Anura, Quaternioane, numere complexe și, desigur, dimensiunea fractală. Obiecte precum papusi matriuskan, care se potrivesc cu unul în altul, exemplifică fractalii; Matematician Benito Mandelbrot a inventat termenul din 1975, care constituie un concept de capital în geometrie și în sisteme extrem de neregulate cunoscute sub numele de haos. Fractalii reprezintă o încercare extraordinară de a descrie formularele din lumea reală, LIVIO (2006). Următoarele își descriu relația cu numărul de aur reprezentat de obicei ca Ø = 
Raportul dintre numărul de sub-obiecte n, factorul de reducere ƒ și dimensionat d este
În plus, de la construirea unui copac convenită, determină dimensiunea sa rezultată în 1.4404, adică nu este un număr întreg, ci un număr irațional.Pentru Aureum Tree 
condiție este satisfăcută 2 = Ød, atunci este ușor să vezi că
Geometria Aurea ilustrează dreptunghiuri, alți poligoane, elipse, poliedra și relații trigonometrice generate acolo Complex, fapt care generează noi algebre, cum ar fi Clifford. SERPIL HALICI, (2012), subliniază existența Quaterniilor Fibonacci. Adică există relații ale variabilei complexe cu secvența Fibonacci.
Unii matematicieni consideră că o familie de numere cu proprietăți comune, de exemplu, au similitudini atunci când demonstrează matematic iraționalitatea, folosind calculul infinitezimal, HuyleBrouck (2001 ); Acestea sunt așa-numitele numere metalice sau poezie, ceea ce înseamnă o medie a ordinului PTH. Distins irațional de la acest set sunt numărul de Euler E, Zeta de Riemann ζ și π. Din numerele de metal, argintul „div ID =” 49E0D007FD „> și bronz 
, provin dintr-o modalitate de generalizare a secvenței Fibonacci. Ca irațional sunt, ele pot fi reprezentate în fracțiuni continue infinite; La începutul secolului al XX-lea, Srinivasa Ramanujan a găsit o expresie care include Ø, ey π astfel încât
pe cealaltă Mână, în lumea fizică, relația cu anumite fenomene este abundentă. De exemplu, în studiile proceselor de dezintegrare, care variază de la sistemele de echilibru la non-echilibru, cum ar fi cazul scăderii populațiilor, dezintegrarea rocilor sau devalorizările valutare, sunt formulate cu un mecanism numit diminumii cumulative, cum ar fi Buyukkhc și Dimihan ( 2008) punct; Ei în munca lor folosesc așa-numitele seturi de cântece, care duc la o dimensiune fractală. Metoda menționată, formează o teorie care și-a dovedit utilitatea în fizica energiei înalte.
În cosmologie și astronomie Numărul de aur este menționat în structura universului, magnitudinea sistemului solar și Saturn Inelele, Bennett (1999) este, de asemenea, raportate în relația radiourilor Pământului și a soarelui, printre altele. În mecanica cuantică, acesta este prezentat în raportul dintre frecvențele unei perechi de oscilatoare armonice, așa cum se arată prin Granher (1990). De asemenea, în fizica stării solide și a cristalografiei, au fost găsite materiale, cum ar fi manganul de aluminiu, cu ambele structuri moleculare ambigue, care nu sunt amorfe sau periodice, se numesc cvasi-cristale; Acestea au explicația lor fizică într-un model matematic bazat pe o configurație AUREA, cum ar fi mozaicele din Penrose, Livio (2006). Pe de altă parte, prezența lui a fost, de asemenea, verificată la Factorul Landé al magnetismului. Mai jos se explică cazul structurilor ascunse numite Grupul E8.
în magnetism Există lucrări precum Affleck (2010) și offline (2010) care raportează motivul de aur în materiale magnetice compozite, deoarece într-o colecție de particule de stări legate, masa este redusă. Calculul stărilor relativiste include rotațiile apropiate vitezei luminii date în termeni de E = MC2 .dado care merită o analiză relativistă, determinând raportul de masă este o problemă majoră. O alternativă este prin metode de teorie cuantice a câmpurilor. În sistemele low-dimensionale există soluții exacte. Rapoartele de sine Rezultatele unui experiment cu materialul de cobalt al Niobate C0Nb2O6, unde există un motiv pentru masa în ceea ce privește numărul de aur. Acestea sunt legate de structurile numite E8 (ascunse), una dintre cele mai excepționale și interesante din așa-numitele grupuri de minciuni. Experimentul de abandon a demonstrat raportul de masă cu două cobalt de cobalt cu energie redusă, care se apropie de raportul AUREA. Experimentul a coroborat rezultatele calculului bazate pe cuantum de câmpuri și luând în considerare un sistem de dimensiune, s-a determinat soluția exactă.
Cu toate acestea, există autori, cum ar fi Falbo (2005) și Markowsky (1992), Ei au un punct de vedere diferit, deoarece se îndoiesc de calitățile disproporționate atribuite numărului de aur. Aici există declarații precum Markowsky, care spune: „Proprietățile în general matematice sunt declarate corect, dar adesea cele prezentate în arhitectură, literatură și estetică sunt false sau înșelătoare”. El spune că a falsificat mai multe mituri repetate de mai multe ori și subliniază erori în istoria numărului de aur, precum și anumite patrimoniști arhitecturale și artistice, cum ar fi Marea Piramida Egiptului, Partenonul Greciei sau Clădirea ONU în New York, picturi de Leonardo da Vinci, nu prezintă dimensiuni Oureaze. De asemenea, Falbo se referă la o specie de „cult” la numărul de aur.De asemenea, demonstrează ca în anumite cazuri, afirmația că proporția de aur are un loc special între numere, deși ca o descriere valabilă a naturii nu este compatibilă. În plus, respinge ideea că este prezentată frecvent în artă și arhitectură. De exemplu, atunci când luați măsuri, aceasta constată că nu există nicio bază care să spună că numărul de aur este reprodus în mod natural în scoici. În special, nu există nicio bază care să afirme că este prezentată în Nautiili. El discută, de asemenea, dezacordul său cu Mario Livio că motivul Aureea este „numărul cel mai uimitor al lumii”.
Cu toate acestea, subiectul poate fi plauzibil dacă se referă la lucrarea lui Stakhov, unde dreptul lucru este să gândiți în seria Fibonacci ca un principiu general care poate fi deschis la aplicații tehnologice specifice și specifice. Activitatea noastră tratează două probleme care pot ajuta la predarea matematicii și fizicii, precum și a efectelor tehnologice. Se știe că o scară semi-infinită a rezistențelor în serie și în paralel are aplicarea în metrologie digitală; Și în ceea ce privește studiile de rezistență aerodinamică, acestea sunt efectuate în industria automobilelor și aerospațiale.
În primul rând, a fost analizat un exercițiu de text fizic popular, problema circuitelor electrice de tip scară sau, de asemenea, semi-scara Rezistență infinită. Acest caz este tratat în infinitarea cărților precum M. Alonso și E. Finn (1967) și cea a problemelor pentru Olimpiada de Fizică (2007). De asemenea, în literatura de specialitate, Wörner (1999) lucrează a căror lucrări utilizează fracțiuni continue, în plus față de determinarea elegant a tensiunilor întregului circuit. De asemenea, Sanjinés (2010) prezintă soluții utilizând reprezentarea matricei frecvenței Fibonacci și calculul valorilor proprii. Ambele locuri de muncă sunt forme noi pentru a rezolva aceeași problemă. Aici, sarcina noastră pentru circuit cu serii infinite și rezistoare paralele adaugă o analiză inductivă bazată pe seria Fibonacci, puteți compara și soluția cu fracțiunile continue utilizate de Wörner.
imediat, pe baza lucrărilor de cruz et.al. (2010), în cazul în care conul puternic trunchiat de rezistență aerodinamică minimă este determinat prin aplicarea unei soluții algebrice, sunt prezentate principalele sale rezultate care necesită analize prealabile, deoarece activitatea grupului de cercetare conține un set de demonstrații care pot îmbogăți lecțiile de mecanică vectorială și algebra superioară; Contribuția noastră încearcă să completeze aceste analize cu un tratament numeric folosind MATLAB. Analiza este generată pentru o anumită conică de dimensiune, pe baza rezultatelor calculate de acel grup, cu scopul de a facilita calculele prin utilizarea MATLAB.
Nelly Ametyst León Gómez (2006), se referă la Studiul subiectelor, cum ar fi criptografia sau teoria numerelor, care pot oferi studenților posibilitatea de a aborda matematica într-o mare măsură, pentru a motiva căutarea cunoașterii. Problemele tratate și discutate pot fi exprimate într-o manieră didactică și pot realiza acest scop.
Evoluții matematice
AUREA Motivul și secvența Fibonacci
Walser este unul din Autorii care demonstrează cel mai bine conceptele. Dacă cel mai mic raport segment este definit între unul mai mare, are ecuația de clasa a doua
cu rădăcini astfel încât
Lungimea trebuie să fie pozitivă, prin urmare, X1 este aleasă. Walser folosește reciprocitatea acestui lucru ca motivul de aur. Din ecuația patrată și ambele rădăcini, multe proprietăți care pot fi utilizate sunt observate pentru a obține alte rezultate. De exemplu, dacă
Ultimul poate fi generalizat la
Aplicarea liniarizării puterilor sunt obținute în Coeficienții de linearizare numere Fibonacci, cum ar fi
care satisface raportul recurenței
Dacă valorile inițiale cum ar fi A0 = 1 A1 = 1 sunt definite 1,1,2,3, 5,8,13,21, 34,55 .. . care pot fi generalizate în mai multe moduri.
În cele din urmă din raportul succesiv al numerelor Fibonacci, se poate obține valoarea limită,
iv id = „1d32298791”
Circuit electric al rezistențelor infinite în serie și în paralel.
în figura 1 Un circuit este descris cu o cantitate infinită de rezistori de valoare egală A. Se poate dovedi că Circuitul echivalent este în formă req = Ør.
Fig.1. Circuitul electric al rezistențelor infinite.
Pentru o primă demonstrație inductivă, se bazează pe un circuit de numai 3 ochiuri, un astfel de circuit este setat la Figura 2A.
fig. 2a.circle cu 3 ochiuri.
Fig. 2b. Ultima plasă are două rezistențe seriale care sunt în paralel cu adiacente.
din figura 2b, formula de rezistență echivalentă este aplicată pentru circuitele paralele, astfel încât
Pe de altă parte, circuitul rezultat este prezentat în figura 3a:
iv id = „d7aa786b6b”
Fig. 3a. Se observă același proces: două rezistoare în serie (R + 2/3 R), care sunt paralele cu adiacente.
Fig. 3b. Configurație nouă rezultată.
Figura 3b vă permite să determinați o altă rezistență echivalentă a formularului
Procesul de rezolvare a problemei a trei ochiuri, veți dura următoarele configurații.
Fig.4. Rezistență echivalentă pentru trei ochiuri.
Aplicarea soluției la acesta din urmă este atinsă
într-un circuit de Patru ochiuri Soluția este REQ = 21/13 R. Prezența seriei FIBONACCI este identificată Wörner face o demonstrație bazată pe fracțiuni continue, utilizând faptul că tot numărul irațional poate fi reprezentat ca o fracție continuă infinită, astfel încât Numărul de aur este scris
Pentru cazul circuitului din figura 3B poate fi exprimat ca
și în cele din urmă pentru circuitul din figura 4,
Se face o demonstrație mai formală în cartea de probleme olimpice, se propune separarea circuitului în două secțiuni, așa cum se arată în Figura 5.
fig. 5. Un alt formular abreviat pentru a configura circuitul rezistenței infinite.
partea dreaptă a figurii 5 rămâne o colecție infinită de rezistență și, prin urmare, este egală cu figura 1. Această situație poate fi reprezentată ca în figura 6. Prin urmare, acesta poate fi considerat după cum urmează:
Fig. 6. Circuitul care conține în rezistența echivalentă Toate celelalte.
O variabilă nouă, cum ar fi Re = R + Req, este definită. Având în vedere partea dreaptă a acestei ecuații ca rezistență echivalentă căutată, atunci are
= Ø R. Sarcina de căutare a tensiunilor și a curenților în fiecare element de circuit lipsește.
Rezistența care oferă mișcarea unui con trunchiat.
Problema aerodinamică Newton pentru conuri trunchiate, Ca cea din partea stângă a figurii 7, soluția are o surpriză plăcută și este că poate fi demonstrat, potrivit lui Cruz și colab. (2010), că conul minim de rezistență este unul care este construit cu proporții aureale. În această lucrare există o funcție care să reprezinte rezistența aerodinamică așa cum este descrisă într-un mod general.
Se presupune că conul rămâne nemișcat și particulele se deplasează cu viteză constantă ν. În primul rând, cazul unui cilindru radio Ry Height H este analizat, partea dreaptă Figura 7, momentele liniare înainte și după șoc va fi p1 = mv și p2 = mv.
Fig. 7. Cone și cilindru trunchiat, acesta din urmă este mai ușor și ușor rapid.
cu V = V. Numai particulele care se află la o distanță mai mică decât VΔt de la baza superioară a cilindrului se pot ciocni cu el în timp Δt. Fie ρ este densitatea mediului și V este volumul cilindrului R radio și înălțimii VΔt. Autorii definesc RCIL ca rezistența cilindrului și demonstrează clar că este dată de RCIL = 2πρv2r2.
pentru cazul unui con trunchiat de înălțime h cu radio radio inferior radio X, coliziunile pot apar la baza superioară și pe partea laterală. Partea dreaptă a figurii 8.
rezistență la bază de bază și rezistență la RC pe partea laterală, apoi rezistența totală R x va fi suma atât a lui R X = R S + RC.
Fig. 8. Rezultatul cilindrului este util pentru rezolvarea conului trunchiat.
când X = R are față de RC = 0, prin urmare rr = RCIL; În plus, folosind rezultatul pentru un cilindru, se calculează în acea lucru, că rezistența suprafeței este Rs = 2πρv2x2.
Pentru a obține rezistența laterală RC, se poate observa cum particulele care se ciocnesc de partea conului într-un timp Δt sunt cele care se află într-un „cilindru” gol, ca unul Partea stângă a figurii 8, a cărei volum este aceeași cu cea a cilindrului gol de înălțime VΔT, de la radioul exterior radio radio X. În considerații similare cu primul caz, adăugând o analiză a algebrei și trigonometria de bază, o astfel de funcție la care RC = 2πρ R2- x2 V2COS2A.
Când se adaugă RS și RC este obținut R X = 2πρv2x2 + R2 – X2 COS2A.
Folosind raportul dintre cosinoasa din Figura 8,
Dacă K este definit 2πρv2 are apoi funcția de rezistență aerodinamică,
Pentru a căuta conul trunchiat de rezistență minimă pe care trebuie să o găsiți Valoarea minimă a R (X) în intervalul 0 < x < r. Este echivalent cu găsirea minimului CE. (21). Pentru a modifica puțin funcția este adăugată și subtratere H2 de pe numerotare este atunci
și, prin urmare, minimalizați f (x ) pentru 0 < x < r este egal cu maximizarea
Contribuția noastră poate fi acum ridicată, este vorba despre generarea unui anumit con și posibilitatea de a facilita calculul; Prin urmare, se propune o soluție cu metoda grafică. Din ecuația există un caz astfel încât H = R = 1, când se înlocuiește în EC. (23), funcția de derivat este
Graficul dvs. este generat în 0 < x < 1, după cum se arată în Figura 9, are a Maxim între 0,30 și 0,40. La derivarea ecului (24) și se potrivește cu zero, problema echivalentă că a căutat rădăcina ecuației derivate. Aplicarea comenzilor MATLAB corespunzătoare, se obține zero funcția.
Dacă ecuația este grafic (24) și ( 25), validitatea sa este observată în figura 10.
fig. 9 grafic de maxim închis la 0,40
FIG. 10. Rădăcina este observată de 0,40
pentru a construi un con de înălțime H și o bază radio R, care atunci când o trunchează la înălțimea H produce un con de rezistență minimă, procedând conform figurii 11. Este ușor de făcut Determinați că înălțimea H trebuie să fie dată de
dacă este făcut H = R, apoi H = TR. Cu . .
Pentru cazul conului de dimensiune particulară R = 1, H = 1, se utilizează în figura 11, unde poate fi văzută ca Dimensiunea dreptunghiului Aureum este în concordanță cu cazul particular. Prin urmare, conul minim de rezistență are dimensiuni de orane. Figura 12 prezintă dreptunghiul cazului particular propus.
Fig. 11. Metoda de construcție a unui dreptunghi aureum.
Fig. 12. Dreptunghiul Aureum care testează validitatea metodei raportate
ACUM O altă modalitate de a corobora rezultatul este de a folosi unghiul unui dreptunghi agon, unde se poate observa că deci (90º – 58,28 °) = 1Ø; Următoarea sarcină este de a demonstra rezultatul fără MATLAB, adică prin analiză algebrică.
Discuție a rezultatelor
a rezultatelor analizate pentru fiecare problemă, o analiză complementară a autorilor consultați este obținut. În circuitul scară semifinită a rezistenței ohmice, soluția inductivă poate fi legată de utilizarea reprezentării în fracțiuni continue pe care o face Wörner. În soluționarea problemei olimpice, legăturile de testare, în principal la construirea ecuației de clasa a doua. De asemenea, este posibilă rezolvarea problemei dacă aveți o sursă de tensiune. În alte referințe există astfel de tratamente. Calculul energiei și intensității este în așteptare în cadrul circuitului.
În problema conului trunchiat de rezistență minimă, este prezentată o analiză, pe baza metodei lui Jaime Cruz Sampetro. Contribuția noastră testează validitatea propunerii prin aplicarea rezultatului său într-un anumit caz, acest lucru ne permite să facilităm calculul instrumentului derivat; În plus, aceasta face posibilă graficul și verificarea printr-o sarcină numerică veridicitatea formulelor consultate. Este important în acest caz să efectuați toate demonstrațiile generate în activitatea de consultare, deoarece constituie o lecție exemplară. Sarcina lipsă este de a testa ecuația (21), (22) și (23) printr-o cale diferită.
Concluzii
Divergența ideilor între Falbo, Markowsky și Stakhov, au Efecte pozitive în studiul subiectului, deoarece fostul reușesc să elimine halo-ul magic atribuibil; Cu toate acestea, este de dorit ca fundamentul matematicii armonice, care implică o provocare majoră.Activitatea noastră încearcă să demonstreze rolul tot mai mare al secvenței Fibonacci în didactica fizicii și matematicii într-un mod plăcut, prin urmare cele două probleme sunt considerate utile în acest context. Problema circuitului poate fi extinsă, făcând alte configurații ale scărilor semi-infinite ale condensatoarelor sau de calcule de tensiune. Pentru cazul aerodinamicii, abordarea noastră se bazează pe graficul și derivatul rezolvat. Colaborarea noastră este de a demonstra rezultatul consultat. Valoarea care maximizează funcția, este inclusă când trageți un dreptunghi de aureum. Analiza noastră are o valoare demonstraționită utilizând software-ul. Este necesar să se clarifice posibilitatea de a părăsi contextul Newtonian și de a explora alte metode. În cele din urmă, nu ignora comentariile abilităților matematice formative implicate în ambele exerciții și oportunitățile care se deschid pentru a vă invita să explorați minunile, cum ar fi fracturile Mandelbrot și moștenirea lui Ramanujan.
Referințe
Affleck I., Raportul de Aur văzut în magnetic. Natură 464, 362-363 (2010).
Alonso M. și Finn E., Fizica Universității Fundamentale, Vol. 2, Addison-Wesley (1967).
Beenett A., Phi: Numărul de aur (online) 1 august 2012, http://www.goldennumber.net/quantum-time. PHI Point Solution, LLC. SUA (1997).
Blenher P.M., nivelul de energie pentru două oscilatoare armonice cu raport mediu de aur de frecvențe. Jurnalul Fizicii Statistice. 61, 3-4, 869-876 (1990).
Buyukkhc F. și Dimihan D., DIMINUMAȚII Cumulative cu abordarea Fibonacci, Secțiunea Aur și Fizică. Int. J. Theor Phys (2008) 47, 606-616 (2008).
Scolde R. și colab., Criticalitatea cuantică într-un lanț ISING: Dovezi experimentale pentru simetria E8 emergentă. Science 327, 177-181 (2010).
Cross J. și Tetlalmatzi M., PoeM și Frustumul aerodinamic al lui Newton. Jurnalul de Matematică College 41, 2, 145-152 (2010).
Falbo C., raportul de aur la punctul de vedere spre contrară. Colegiu matematică. J. 36 123-134 (2005).
Halici S., pe Quaternioane complexe Fibonacci. Adică Appl. Clifford Algebras. Iunie (2012).
HuyleBrouck D., asemănări în dovezile iraționalității pentru matematica Amer. Lunar 108, 222-231 (2001).
león gomez n.a., unele elemente matematice prezente în codul da Vinci. Paradigma 27 1 (2006).
livium M., raportul AUREA. 10A ed. Ariel Spania (2002).
markowsky G., concepții greșite despre raportul de aur. Colegiu matematică. J. 23 2-19 (1992).
Sanjinés Diego C., succesiunea pe scară largă a FIBONACCI aplicată la circuitele de tip scară. Revista Boliviană de Fizică. 17, 41-46 (2010).
Societatea Mexicană a Fizicii. Probleme aplicate în Jocurile Olimpice ale SMF. Editați | ×. SMF Mexic (2007).
Stakhov A. P., Principiul generalizat al secțiunii de Aur și Sits Aplicații în domeniul științei matematice și al lui Egineering. Haos Snitons Fractal 26 263-289 (2005).
Walser Hans. Secțiunea de Aur. Editați | ×. Asociația matematică a Americii. SUA (2001).
Wörner C.h., rațiunea Aureea și o scară semifinită a rezistenței. http://cabierta.uchile.cl/revista/17/educacion/edu4/index.html (1999).
primite 12 septembrie 2012; Acceptat 08 noiembrie 2012; Versiunea finală a primit 10 ianuarie 2013.