Matricea Jacobiene este o matrice formată de derivații parțiali de ordinul întâi al unei funcții. Una dintre cele mai interesante aplicații ale acestei matrice este posibilitatea de a aproxima liniar la funcția la un punct. În acest sens, Jacobianul reprezintă derivatul unei funcții multivariate.
Ar trebui să vorbim mai mult decât Matrix Jacobian, diferențială Jacobienă sau aplicația liniară Jacobie, deoarece forma matricei va depinde de baza sau coordonatele alese Adică, având în vedere două baze diferite, aplicația liniară Jacobie va avea componente diferite chiar și în cazul aceluiași obiect matematic. Proprietatea de bază a „matricei” lui Jacobiene este după cum urmează, având în vedere o aplicație fie F: R N → R M {\ AfișareStyle \ Mathbf {F} {R} \ {MTHBB {R} ^ {m} }
continuu , adică f ∈ c (k) (rn, rm) {\ displaystyle \ Mathbf {f} {{{{{{{{{{{{{{{{{{(KTHBBB {R} ^ {n}, \ Mathbb {r } m)}
Se va spune că este diferențiabilă dacă există o aplicație liniară λ ∈ l (rn, rm) {\ displaystyle {boldsymbol {\ lambda}} {{\ lambda}} (\ matethbb {r} unul, \ Mathbb {R} M)}
Așa cum:
(1) Lim ‖ x – și → 0 ‖ (F (x) – F (y)) – λ (x – y) ‖ λ și ‖ = 0 {\ DisplayStyle \ Lim \ \ Mathbf {și} \ | \ la 0} {\ Frac {\ | (\ Mathbf {F} (\ Mathbf {x}) – \ Mathbf {f} (\ Mathbf {și})) – {\ boldsymbol {\ Lambda}} (\ Mathbf {x} – \ Mathbf {și}) \} {\ | \ Mathbf {x } – \ Mathbf {și} \ |}} = 0}}
iv id = „b9d0a3367d”
SCALATE FUNCTION
Să începem cu cel mai simplu caz al unei funcții scalare F: rn → r {\ displaystyle \ scriptstyle f: \ mathbb {r} n \ la {r}
. În acest caz, matricea Jacobiene va fi o matrice formată dintr-un vector de rând care coincide cu gradientul. Dacă funcția acceptă derivați parțiali pentru fiecare variabilă se poate observa că este suficient să se definească „Matricei” Jacobiene ca:
λ (x): = ∇ F (x . } {\ Partial x 1}} & \ ldots & {\ cfrac {\ partial Mathbf {x}) {\ Partial Xn }} \ capătul {bmattrix}}}
Vector FunctionEDITAR
Presupun la F: R N → R m {F}: \ Mathbb {r} ^ {} \ la \ Mathbb {r} M}
este o funcție care trece de la spațiul Euclidian n-dimensional la un spațiu euclidan m-dimensional.Această funcție este determinată de M Real Scalar Funcții:
yi = fi (x 1, …, xn), y = f (x) = (F 1 ( x), …, F (x)) {\ DisplayStyle y_ {i} = F_ {i) (x 1, \ ldots, xn), \ qquad \ Mathbf {și} = \ Mathbf {f} (\ Mathbf {x}) = (F 1 (\ Mathbf {x), \ Dots, FM {m} (\ Mathbf {x}))}
Când funcția de mai sus este diferențiată , atunci derivații parțiali ai acestor funcții M pot fi organizate într-o matrice M per n, matricea lui Jacobie a F:
{{\ cfrac { \ Reln {BMATICIX} {\ partial x_ {1}} {} {\ partial x_}} & {\ cfrac {\ parțial y_} {\ partial xn}} \\\\\ „8A9D3B3779″>
\ ddots & \ w \ \ {\ cfrac {\ parțial și {m}} {\ parțial x 1}} & \ cdots & {\ cfrac {\ partial y μl} {\ Parțial x_ {n}}} \ capătul {bmattrix}}}
<1}} {\ parțial x 1}} \ cdots & {\ cfrac {\ partial y_} {\ partial xn}} \\ Vdots \ ddots {\ {{\ cdots {\ partial y {{} {\ partial x 1}} {\ partial x 1}} & {\ cfrac {\ parțial y μl} {\ partial x_ {n}} \ end {bmattrix}} iv id = „b9d0a3367d”
Această matrice Se observă în moduri diferite:
jf (x 1, …, xn), sau ∂ (și 1, …, ym ) ∂ (x 1, …, xn) sau df (x 1, …, xn) sau ∇ f (x 1, …, xn) {\ displaystyle J \ Mathbf {f}} ( X 1, \ ldots, xn), \ QQual {\ Mbox {sau}} \ qquad {{{\ Ldots, Y ™) {\ Partial (x 1, \ Ldots, Xn) }}}} \ Qquad {{sau} \ qquad d {f} (x 1, \ ldots, x_ {n}), \ QQual {{\ Mbox {sau}} \ qquad \ Nabla {{\ boldsymbol {\ mathbf {f}}} (x1}, \ ldots, x_ {n)}
Rețineți că i-acest rând va coincide cu gradientul Yi funcția, pentru toate i = 1, …, m.
Dacă p este un punct de rn și f este diferențiată în P, atunci derivatul său este dat de JF (P). În acest caz, aplicația liniară descrisă de JF (P) este cea mai bună armonizare liniară lângă punctul P, în acest mod:
f (x) ≈ F (P) + JF (P) (XP) {\ DisplayStyle \ Mathbf {f} (\ Mathbf {x}) \ aprox \ Mathbf {F} (\ Mathbf {q) + J _ Mathbf {F}} (\ Mathbf {}) (\ Mathbf {x} – \ Mathbf {})}
iv id = „848c2af04f” {\ Mathbf {f}} ({\ Mathbf {x}}) \ aprox {\ Mathbf {f}} ({\ Mathbf {p) + jp {{f}}} ({\ Mathbf {p}}) ({\ Mathbf {x}} – {\ Mathbf {p}} {\ Mathbf {p}})
pentru x aproape p. Sau mai precis:
Lim ‖ X – P → 0 → 0 „F (x) – F (P) – JF (P) (X – P ) ‖ \ Mathbf {x} (\ mathbf {x} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {x}) – \ Mathbf {f} ( \ Mathbf {}) -JP {\ Mathbf {f}} (\ Mathbf {}) (\ Mathbf {x} – \ Mathbf {}) \} {\ | \ Mathbf {x} \ Mathbf {p} \ | }} = 0}
În anumite spații vectoriale ale dimensiunii non-finite, formate din funcții, conceptul de matrice Jacobian poate fi generalizat prin definirea unei aplicații jacobiene liniare.
EXEMPLY
Exemplu 1. Matricea Jacobiei Function F: R3 → R3 definită ca:
F (x 1, x 2, x 3) = (x 1, 5 X 3, 4 x 2 2 – 2 x 3) {\ DisplayStyle F (x 1, x2, x 3) = (x 1, 5x 3, 4x 2 2 -2x 3)}
este:
jf (x 1, x 2, x 3) = {\ displaystyle j_ {F} (x_ 1, x2, x_3) = {\ Begin {bmattrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 div id = „8A9d3b3779”
8x_ {2} & -2} end {bmatrix}}}}
Nu întotdeauna matricea Jacobiene este pătrată. Consultați exemplul următor.
Exemplul 2.SUPÓNGASE LA FUNCIÓN F: R3 → R4, Cuyas Componentes Son:
y 1 = 1 / x 1 {\ displaystyle y_ {1} = 1 / x_ {1} \;}
y 2 = 5 x 3 {\ displaystyle y_ {2} = 5x_ {3} \,}
y 3 = 4 x 2 2 – 2 x 3 {\ DisplayStyle y_ {3} = 4x_ {2} ^ {2 } -2x_ {3} \,}
y 4 = x 3 păcat (x 1) {\ displaystyle y_ {4} = x_ {3} \ păcat (x_ {1}) \,}
aplicando la defingión de matriz jacobiana:
jf (x 1, x 2, x 3) = =. {\ J_ displaystyle {F} (X_ {1}, X_ {}, X_ {3} 2) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ y_ parțial {1}} {\ X_ parțial {1}}} & {\ dfrac {\ parțial y_ {1}} {\ parțial X_ {2}}} & {\ dfrac {\ parțial y_ {1}} {\ parțial X_ {3}}} \\ {\ dfrac {\ parțial y_ {2}} {\ parțial X_ {1}}} & {\ dfrac {\ y_ parțial {2}} {\ parțial X_ {2}}} & {\ dfrac {\ parțial y_ {2}} {\ parțial X_ {3}}} \\ {\ dfrac {\ parțial y_ {3}} {\ parțial X_ {1}}} & {\ dfrac {\ y_ {3}} {\ X_ parțial parțială { 2}}} & {\ dfrac {\ parțial y_ {3}} {\ parțial X_ {3}}} \\ {\ dfrac {\ parțial y_ {4}} { \ X_ parțial {1}}} & {\ dfrac {\ parțial y_ {4}} {\ parțial X_ {2}}} & {\ dfrac {\ parțial y_ {}} {\ partial x_ {3}}} \\\ end {bmattrix}} = {\ Begin {bmattrix} -1 / x_ {1} ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & -2 \\ x_ { 3} \ cos (x_ {1}) iv id = „8A9d3b3779”
0 & \ păcat (x_ {1}) \ capătul {bmatrix}}. }
