Definiția depinde de faptul dacă lucrează în timp discret sau continuu. Vom vedea că pentru funcția de utilitate CRRA, cele două abordări dau același răspuns. Următoarele forme funcționale presupun că utilitatea consumului este separabilă aditivă în timp.
Discretodeditar Timp
Utilitate totală pe o viață este dată de:
u = σ t = 0 t β (ct) {\ displaystyle u = \ ^ {t = 0} ^ ^ β {t} u (c_ {t)}
În acest context, rata reală a dobânzii este dată din următoarea condiție:
qu ‘ (CT) = Q β RU ‘(CT + 1) {\ DisplayStyle Q’ (C_ {T) = \ beta RU ‘(C_ {T + 1})}
O cantitate de bani q {\ Afișare q}
Costuri investite astăzi Qu ‘(CT) {\ DisplayStyle Q’ (C_ {t)}
Unități de utilități, astfel încât acestea să dea pasul exact acel număr de unități de utilitate în viitor atunci când este salvat în rată de interes brut care prevalează r {\ displaysty r}
. (Dacă a existat mai mult, agentul ar putea fi făcut mai bine pentru a salva mai mult.)
Rezolvarea pentru rata reală a dobânzii, vedem că
r = u ‘(CT) β U’ (CT + 1) {{{T)} {{{t)} {{{t)} {{{t + 1}}}}
În logaritms, avem
r = – ln – ln β {@ stânga} – \ ln {\ beta}}
Înregistrările sunt foarte apropiate de variațiile procentuale, astfel încât să putem interpreta r ca o rată a dobânzii nete ca 5%, în timp ce R este rata dobânzii prime corespunzătoare ca 1.05.
Elasticitatea de substituție intertemporală este definită ca schimbarea procentuală a creșterii procentului creșterii procentuală a ratei dobânzii nete:
∂ LN (CT + 1 / CT) ∂ R {\ DisplayStyle {\ Crac {\ Partial \ Ln ( C_ \ t + 1} / c_ {t)} {\ Partial R}}}
Substituirea în ecuația anterioară a jurnalului, putem observa că această definiție este echivalentă cu elasticitatea consumului Creștere cu privire la creșterea utilității marginale:
– ∂ ln (CT + 1 / CT) ∂ ln (U ‘(CT + 1) / U’ (CT)) {\ AfișareStyle – {\ C -1} / c_ {t})} {\ partial} (u ‘{t + 1}) / u’ (c_ {t))}}}}
