Uma família de problemas de investimento inerentemente mais difíceis são conjuntamente referidos como investimento não linear.
Problemas não lineares têm uma relação mais complexa entre os dados e o modelo, representado pela equação:
d = g (m) {\ displaystyle \ d = g (m)}
Aqui g {\ displaystyle g}
é um operador não linear e Não pode ser separado para representar uma correspondência linear dos parâmetros do modelo que formam m {\ displaystyle m}
nos dados. Neste tipo de problema, a primeira coisa a fazer é entender a estrutura do problema e dar uma resposta teórica às questões de Hadamard (de tal maneira que o problema seja “resolvido do ponto de vista teórico”). Uma vez feito isso, é seguido com o estudo de regularização e interpretações da evolução das soluções com novas medidas (probabilísticas ou não). Assim, as seções correspondentes não se referem a esses problemas.
Embora os problemas lineares de investimento fossem completamente resolvidos do ponto de vista teórico no final do século XIX, apenas um tipo de problemas não lineares foi antes de 1970: o problema espectral inverso e a dispersão inversa (em um espaço de uma dimensão), após o trabalho fundamental da escola matemática russa (Kerin, Gelfland, Levitan, Marchenko). Chadan e Sabatier dão um extenso estudo dos resultados em seu livro “Problemas inversos da teoria do espalhamento quântico” (com duas edições em inglês e uma em russo). Nesse tipo de problema, os dados são propriedades do espectro de um operador linear que descreve a dispersão. O espectro é formado por auto-valores e autofunções, formando o “espectro discreto”, (…..) o espectro contínuo. O (…) é que os experimentos sobre a dispersão fornecem informações apenas do espectro contínuo, e o conhecimento de seu espectro completo é necessário (e suficiente) para recuperar o operador de dispersão. Portanto, temos parâmetros invisíveis, muito mais interessantes do que o espaço nulo que tem uma propriedade semelhante nos problemas lineares inversos! Além disso, há movimentos físicos onde o espectro de tal operador é preservado com o movimento. Esses movimentos são governados por equações diferenciais parciais especiais, por exemplo, o “Korteveg -de Vries”. Se o espectro de um operador for reduzido a um único auto-valor, o movimento correspondente é o de um único golpe que é espalhado com velocidade constante sem deformação, uma onda solitária chamada “soliton”. É claro que tal sinal perfeito e suas generalizações para a equação do Korteweg-de Vries, ou outras equações diferenciais parciais não lineares integráveis são de grande interesse, com muitas possibilidades de aplicação, e atualmente são estudadas como um ramo da física matemática de 1970.
Problemas de investimento não lineares também são estudados em muitos campos de ciências aplicadas (acústica, mecânica mecânica, mecânica quântica, dispersão eletromagnética, ondas de radar, sísmicas, em todos os tipos de processamento de imagem, etc.).