Paisagens matemáticas

É muito provável que o teorema pitagórico seja o resultado mais importante da antiga matemática clássica. Uma pesquisa rápida em paisagens matemáticas leva a vários artigos em que é tratado de diferentes ângulos. Em particular, algumas de suas demonstrações clássicas são discutidas aqui, aqui, aqui, aqui, aqui e aqui.

O bolo de O logotipo deste artigo representa outro dos testes mais famosos (clique na imagem à esquerda para ativar o vídeo correspondente). Entre tudo, este é o que mais eu gosto, não só pela sua simplicidade, mas também por razões “sentimentais”. Como geralmente acontece, meu professor de Liceum nunca explicou a razão para o teorema, mas apenas reduziu a uma fórmula algébrica útil (?) Para calcular o comprimento de um lado de um triângulo retângulo daqueles dos outros dois (e assim se sentir feliz Para resolver adequadamente um exercício de rotina em algum exame …) Esta demonstração apareceu em um livro de histórico de matemática que felizmente veio às minhas mãos e despertou minha paixão pela geometria.

fim, eu acredito que todos que são Apaixonada pela matemática Podemos relacionar uma história semelhante e, ao passar, para confirmar este diagnóstico sobre o ensinamento na escola. Algo disso é mencionado neste artigo, bem como em sua resposta, no que diz respeito especificamente a geometria. Meu objetivo aqui não é para entrar novamente nesta discussão (dos quais já foi dito muito neste site, embora possa ser dito muito mais), mas se referir especificamente a uma demonstração muito não convencional do teorema. Para motivá-lo, uma questão a ” ingênua ”:

Quantos shows do teorema pitagórico?

A resposta (intencionalmente elusiva) é: muitos mais do que aqueles que geralmente são ensinado. Uma compilação notável aparece no livro a proposição pitagórica, o trabalho (em inglês) de Elisha Loomis datando de 1927 e não contém nada menos de 256 demonstrações diferentes (alguns um pouco “” questionável “porque exigem conhecimento muito avançado, como por exemplo, último, que precisa de geometria hiperbólica). Entre eles, há alguns que são frequentemente atribuídos aos personagens dos contos de ” ‘Times’ ‘, como Leonardo da Vinci, Benjamin Franklin e Albert Einstein (embora essas atribuições também sejam questionadas pelos estudiosos da questão).

Um compêndio mais interativo (também em inglês) é este blog, que já tem mais de 120 demonstrações diferentes. Número de teste 117 deste site – da minha autoria de 2016 e, depois de analisar muita bibliografia sobre o assunto, eu posso afirmar sem medo de que seja totalmente original.

A ideia do argumento nasceu Procurando informações sobre o teorema na Internet para preparar uma conversa para estudantes de Liceo. Em uma página (que, infelizmente, não consegui mudar), encontrei imagens desse tipo.

se Lembro-me de bem, estes foram acompanhados por uma questão natural:

é a soma das áreas das figuras nas cortinas iguais à área da figura na hipotenusa?

É possível que a resposta não seja tão evidente para um aluno de Liceum; Mesmo, pode – por precaução – um matemático profissional precisa de alguns segundos longos antes de responder. E estamos tão acostumados a ‘memorizar’ ” ” ‘Repita’ ‘o teorema como um resultado válido para’ ‘quadrado’ ‘(construído nas laterais) do que mudar as ditas figuras (triângulos, pentágonos, etc), você pode desencadear um bloco intelectual. No entanto, um momento de reflexão nos diz que a área dos referidos números é proporcional à dos quadrados, com uma constante de proporcionalidade que depende apenas da ” forma ” da figura. Disse constante não é outro senão o valor da área dessa figura quando é levado para um tamanho, tal que é baseado em um segmento de comprimento 1, cobrindo exatamente o seu longo. De fato, a figura não é necessariamente poligonal: pode ter curvas, silhuetas, etc. Pode até ser o de um hipopótamo!

reciprocamente, deve ser Evidente que para qualquer outra figura nas laterais do retângulo do triângulo (hipopótamos, semicírculos, pentágonos regulares, triângulos equiláteros, etc.), a igualdade entre a área é erguida na hipotenusa com a soma das áreas daqueles Nos Catechs implica a validade do teorema convencional do pitágio (para quadrados).De fato, basta multiplicar cada membro essa igualdade pela constante apropriada para retornar às áreas dos respectivos quadrados.

Você pode dar a si mesmo um teste ” direto ” para qualquer uma dessas igualdade, que é, um argumento que não acontece por causa do fato de que já conhecemos o teorema clássico? Se é figuras de contorno arbitrário, isso parece muito improvável. No entanto, sobre este vídeo e neste (ambos em inglês) você encontrará discussões simpáticas sobre essa demonstração (que é frequentemente atribuída a Einstein …) que é baseada em uma ideia desse tipo. Neste caso, os números considerados em cada lado são cópias do triângulo original!

Se nós contidos o caso de polígonos regulares erguidos nas laterais do nosso triângulo original (como é ilustrado acima), é possível dar argumentos diretos de testes. Abaixo, apresento um para o caso de triângulos equiláteros que vão no espírito das manifestações mais clássicas do teorema. Como estamos no século 21, em vez de transcrevê-lo, deixo na forma de um vídeo. Se necessário, os detalhes aparecem no texto geminado aqui.

e é assim, em meados do século 21, você ainda pode contribuir novo para a matemática da Grécia antiga: um novo teste de Um teorema de antiguidade de 2500 anos! (E talvez muito mais).

Refrescante, certo?

Problema 1: O que exposto neste artigo pode ser suplementado com o teorema de equilíbrio de Wallace-Gerwien-Bolyai, magnificamente desenvolvido em Este artigo. Ao lê-lo, você aprenderá que, se figuras poligonais semelhantes forem erguidas nas laterais de um triângulo retangular, aquelas que estão nas Catechs podem ser cortadas em peças poligonais que, rensamblinadas, cobrem exatamente a figura da hipotenusa. Implementa isto para figuras que são pentágonos regulares, retângulos ure, triângulos equiláteros, etc.

problema 2: se em um triângulo retângulo os semicírculos são desenhados com diâmetro a hipotenusa e as catenas, o primeiro dentro e os dois Segundos para fora, então as regiões incluídas entre eles são chamadas de Hipócrates Lúbla. Uma propriedade fundamental (que você verificará rapidamente usando o teorema pitagórico) é que a soma de suas áreas é igual à do triângulo original. Pergunta: Quando são figuras semelhantes as duas lunnulas?