Matriz e Determinante Jacobiano

A matriz jacobiana é uma matriz formada pela primeira ordem derivada parcial de uma função. Uma das aplicações mais interessantes desta matriz é a possibilidade de aproximar-se linearmente à função em um ponto. Nesse sentido, o Jacobiano representa a derivada de uma função multivariada.

Devemos falar mais do que a matriz jacobiana, diferencial de jacobiano ou aplicação linear jacobiana, uma vez que a forma da matriz dependerá da base ou das coordenadas escolhidas Ou seja, dadas duas bases diferentes, o aplicativo linear Jacobiano terá componentes diferentes, mesmo no caso do mesmo objeto matemático. A propriedade básica da “matriz” do Jacobiano é a seguinte, dada uma aplicação f: r n → r m {\ displaystyle \ mathbf {f}: \ mathbb {r} {r} \ to \ mathbb {r} ^ {m} }

, ou seja, f ∈ c (k) (rn, rm) {\ displaystyle \ mathbf {f} {{\ mathcal {c}} ^ {(k)} (\ mathbb {r} ^ {n}, \ mathbb {r } m)}

será dito que é diferenciável se houver uma aplicação linear λ ∈ l (RN, RM) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}} \ in {\ lambda}} (\ mathbb {r} um, \ mathbb {r} m)}

tais que:

(1) lim (1) x – e → 0 → 0 → 0 → 0 (x) – F (y)) – λ (x – y) ‖ X – e ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim \ \ mathbf {e} \ | \ to 0} {\ frac {\ | m mathbf {F} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {f} (\ mathbf {e}) – {\ boldsymbol {\ lambda}} (\ mathbf} (\ mathbf} – \ mathbf {e} {\ | \ mathbf {\ | } – \ mathbf {e} \ |}} = 0}

função de escala

Vamos começar com o caso mais simples de uma função escalar f: rn → r {\ displaystyle \ scriptstyle f: \ mathbb {r} n \ to {r}}

. Nesse caso, a matriz jacobiana será uma matriz formada por um vetor de linha que coincide com o gradiente. Se a função suportar derivados parciais para cada variável pode ser vista que é suficiente para definir a “matriz” jacobiano como:

λ (x): = ∇ f (x): = ∇ f (x) ) = {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}} (\ mathbf}: = {\ boldsymbol {{x}) = {\ begin {bmatrix} {\ cfrac {\ parcial f (\ mathbf}) } {\ Parcial x 1}} & \ ldots & {\ cfrac {\ mathbf} {\ partial mathbf {x})} {\ xn parcial }} \ end {bmatrix}}}

desde então a proporção (1) será cumprida, Então, neste caso, a “matriz jacobiana” é precisamente o gradiente.

Vector Funcionalidade

Suponha F: R N → R M {\ displaystyle \ mathbf {f}: \ mathbb {r} ^ {} \ to mathbb {r} m}

é uma função que vai do espaço euclidiano n-dimensional para outro espaço euclidiano m-dimensional.Esta função é determinada por m Funções Scalar Real:

yi = fi (x 1, …, xn), y = f (x) = (f 1 x), …, f m (x)) {\ displaystyle y_ {i} = f_ {i) (x 1, \ ldots, xn), \ QQUAD \ mathbf {e} = \ mathbf {f} (\ Mathbf {x}) = (f 1 (\ mathbf {x), \ pontos, fm {m} (\ mathbf {x}))}

Quando a função acima é diferenciável , então os derivados parciais dessas funções M podem ser organizados em uma matriz m por n, a matriz jacobiana de f:

{{\ cfrac {{\ cfrac \ Relan {Bmatrix} {\ Parcial X_ {1}} {\ parcial x_}} & \ CDOts & {\ cfrac {\ Parcial Y_} {\ XN Parcial}} \\\ vDots & \ ddots & \ vDOTS \\ {\ cfrac {\ parcial e {m}} {\ Partial x 1}} & \ CDOts & {\ cfrac {\ parcial y μl}} {\ Parcial x_ {n}} \ end {bmatrix}}}

esta matriz é notado de maneiras diferentes:

jf (x 1, …, xn), ou ∂ (e 1, …, ym ) ∂ (x 1, …, xn), ou df (x 1, …, xn), ou ∇ f (x 1, …, xn) {\ displaystyle j \ mathbf {f}} ( X 1, \ lDOTs, xn), \ QQUAD {\ mbox {ou}} \ qquad {\ frac {\ parcial (y_ {1, \ lDOTs, y ™)} {\ parcial (x 1, \ ldots, x 1, xn) }}}} \ Qquad {{or}} \ qquad d {f} (x 1, \ ldots, x_ {n}), \ \qquad {\ mbox {ou}} \ qquad \ nabla {{\ boldsymbol {\ boldsymbol mathbf {f}}} (x1}, \ ldots, x_ {n)}

Note que o i-esta linha coincidirá com o gradiente do Yi Função, para todos i = 1, …, m.

Se P é um ponto de RN e F é diferenciável em p, então seu derivado é dado por JF (p). Neste caso, o aplicativo linear descrito por JF (P) é a melhor aproximação linear perto do ponto P, desta forma:

f (x) ≈ F (p) + jf (p) (xp) {\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) \ APROX \ mathbf {f} (\ mathbf {q) + j _ mathbf {f}} (\ mathbf {}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {})}

para x perto de p. Ou com mais precisão:

lim “0 → 0 → 0 → f (x) – f (p) – jf (p) (p) (p) (p) ‖ ‖ X – P {\ displaystyle \ lim \ \ mathbf {} \ | \ a 0} {\ frac {\ | \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {f} \ mathbf {}) -jp {\ mathbf {f}} (\ mathbf {}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {}) \ |} {\ | \ mathbf {x} \ | }} = 0}

Em certos espaços vetoriais de dimensão não finita, formado por funções, o conceito de matriz jacobiano pode ser generalizado definindo uma aplicação jacobiana linear.

Exemplar

Exemplo 1. A matriz jacobiana de função F: R3 → R3 definido como:

f (x 1, x 2, x 3) = (x 1, 5 x 3, 4 x 2 2 – 2 x 3) {\ displaystyle F (x 1, x2, x 3) = (x 1, 5x 3, 4x 2 2 -2x 3)}

é:

jf (x 1, x 2, x 3) = {\ displaystyle j_ {f} (x_ 1, x2, x_3) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & -2 \ end {bmatrix}}}}

nem sempre a matriz jacobiana é quadrada. Veja o exemplo a seguir.

Exemplo 2.Supóngase La Función F: R3 → R4, Cuyas Componentes filho:

y 1 = 1 / x 1 {\ displaystyle y_ {1} = 1 / x_ {1} \;}