A análise do postulado dos paralelos de Euclid veio para se tornar uma obsessão pelo jovem Janus, a ponto de seu pai escreveu avisando-o:
“pelo amor de Deus eu te imploro, esqueça. Temelo como paixões sensuais, porque o mesmo, pode ser absorver todo o seu tempo e se privar do seu tempo. saúde, paz de espírito e felicidade na vida. “
jános, no entanto, persistiu em sua pesquisa e, finalmente, chegou à conclusão de que O postulado é independente dos outros axiomas de euclídeos e elaborou diferentes geometrias consistentes construídas a partir da negação do postulado.
Após sua descoberta, ele escreveu para seu pai: “Eu criei um mundo novo e diferente de Nada. “
Entre 1820 e 1823 preparou um tratado sobre um sistema completo de geometria não euclidiana. O trabalho de Bullyai foi publicado em 1832 como um apêndice de um livro de matemática de seu pai.
em 1848 Bullyai descobriu que Lobachevski havia publicado um emprego semelhante em 1829 (três anos antes dele), embora fosse menos geral do que e apenas continha o desenvolvimento da geometria hiperbólica. Bullyai e Lobachevski não se conheciam, e não tinham notícias de suas respectivas obras. No entanto, esta situação resultou em que suas realizações matemáticas não eram merecidamente reconhecidas. Seu pai lhe enviou uma carta para Gauss com o trabalho de János, e o matemático alemão respondeu que não podia elogiar esse trabalho sem elogiar, porque ele mantinha pontos de vista semelhantes por muitos anos, embora não tenha publicado. Embora em cartas para outras matemáticas Gauss reconheceu o gênio proeminente de Boylai (quando lendo o apêndice escreveu a um amigo dizendo: “Considero este jovem geómetro Bolyai como um gênio da primeira ordem”), a persistente falta de reconhecimento público irremediavelmente desencorajou Temperamental János Bulleyai, que nunca continuou sua carreira como matemática.
Além de seu trabalho na geometria, o bullyai desenvolveu um conceito geométrico rigoroso de números complexos como pares ordenados de números reais. A descoberta que fez uma geometria alternativa contribuiu com algumas décadas após o estabelecimento da estrutura relativista do universo, e ajudou os matemáticos a estudar conceitos abstratos, independentemente de qualquer possível relação com o mundo da física.
em 1833, Afligido com febres, teve que se aposentar de sua carreira militar, desde então se dedicando à pesquisa matemática. Ele morreu de pneumonia, em 27 de janeiro de 1860 em Marosvário, Hungria. Mesmo que nunca tenha lançado mais do que as 24 páginas do Apêndice, ele deixou mais de 20.000 páginas de manuscritos matemáticos quando ele morreu. Estes podem agora ser encontrados na livraria de Bullyai-Teleki de Marosvário (hoje Târgu Mureş).