A definição depende se alguém está trabalhando em tempo discreto ou contínuo. Vamos ver isso para a função do utilitário CRRA, as duas abordagens dão a mesma resposta. As seguintes formas funcionais assumem que a utilidade do consumo é adicionalmente separável ao longo do tempo.
Tempo de discretoDeritary
O utilitário total sobre uma vida é dado por:
u = Σ t = 0 t β you (ct) {\ displaystyle u = \ sum ^ {t = 0} ^ ^ β ^ {t} u (c_ {t)}
neste contexto, a taxa de juros real é dada a partir da seguinte condição:
qu ‘ (ct) = q β ru ‘(ct + 1) {\ displaystyle q’ (c_ {t) = \ beta ru ‘(c_ {t + 1})}
uma quantia de dinheiro q {\ display q}
Custos investidos hoje qu ‘(ct) {\ displaystyle q’ (c_ {t)}
Unidades de utilidade, então devem dar a etapa exatamente esse número de unidades de utilidade no futuro quando é salvo na taxa de interesse bruto que prevalece r {\ displaysty r}
. (Se houvesse mais, o agente poderia ser feito melhor para economizar mais.)
Resolvendo para a taxa de juros real, vemos que
r = u ‘(CT) β u’ (CT + 1) {\ Displaystyle r = {\ frac {u ‘(c_ {\ beta u’ (c_ {t + 1})}}}
em logarithms, temos
r = – ln – ln β {\ left} – \ ln {\ beta}}
Os registros estão muito próximos de variações percentuais, para que possamos interpretar r como uma taxa de juros líquida como 5%, enquanto R é a taxa de juros bruta correspondente como 1.05.
A elasticidade de substituição intertemporal é definida como a alteração percentual no aumento do consumo de consumo Aumento na taxa de juros líquidos:
∂ ln (CT + 1 / CT) ∂ r {\ displaystyle {\ crac {\ parcial \ ln ( C_ \ t + 1} / c_ {t)} {\ parcial r}}}
Substituindo na equação de log anterior, podemos ver que esta definição é equivalente à elasticidade do consumo Crescimento em relação ao crescimento do utilitário marginal:
– ∂ ln (CT + 1 / ct) ∂ ln (U ‘(CT + 1) / U’ (CT)) {\ displaystyle – {\ c -1} / c_ {t})} {\ parcial \ ln (u ‘(c_ {t + 1}) / u’ (c_}}}}}
