universidade de treinamento universitário – vol. 6 (2), 23-32 (2013)
artigos
a sequência de Fibonacci e o número de ouro em engenharia elétrica e análise numérica
A sequência de Fibonacci e a seção de ouro em engenharia elétrica e análise numérica
carlos figueroa (1), Lamberto Castro (2), Jesús R. Fox (2), Manuel Lozano (2)
(1) Universidade de Sonora, Divisão de Engenharia, Departamento de Engenharia Industrial, Unidade Regional AV Center. Rosales e L. Encinas, Centre. Cp. 83500. Hermosillo, Sonora, México. (E-mail: [email protected])
(2) Divisão de Sonora, Ciência e Engenharia, Departamento de Física, Matemática e Engenharia, Unidade Regional do Sul. Lázaro Cárdenas No. 100. C.P. 85880, Navojoa, Sonora, México, México
Este artigo tem como objetivo desenvolver soluções alternativas para dois problemas diferentes contendo a proporção de Aurea: 1) em um circuito elétrico com resistências ahmicas infinitas. uma solução indutiva pela sequência de Fibonacci e o resultado também é corroborado usando fracções contínuas; e 2) Na formulação newtoniana para o desenho de um cone truncado de resistência aerodinâmica mínima, uma solução numérica é proposta para testar a bondade do modelo. Ambos os exercícios têm poder didático em assuntos como engenharia elétrica, mecânica de vetor, análise numérica e álgebra superior. O trabalho representa um auxílio no estudo de questões associadas à realização de habilidades matemáticas.
Palavras: Aurea Razão, série Fibonacci, escada semi-infinita, resistência aerodinâmica.
abstract
Este artigo afirma desenvolver soluções alternativas para dois problemas diferentes que contêm a seção de ouro: 1) Em um circuito elétrico Infinito Resistência Ohmic Este artigo fornece uma solução indutiva por sequência de Fibonacci e os resultados são corroborados usando as frações de continuar; e 2) no design de um fúteis de um cone com resistência a aerodinâmica mínima à solução numérica é proposta para verificar a bondade do modelo. Ambos os exercícios têm poder didático sobre assuntos como engenharia elétrica, mecânica de vetor, análise numérica e álgebra avançada. Este artigo representa a contribuição para o estudo dos assuntos associados a melhorar as habilidades matemáticas.
Palavras-chave: Seção de ouro, seqüência de fibonacci, escada semi-infinita, resistência aerodinâmica.
introdução
Existe na ciência contemporânea uma corrente de pesquisa sobre a sequência de Fibonacci e a razão de Aurea. Suas principais manifestações são o Fórum: Conferência Internacional sobre Números de Fibonacci e a revista The Fibonacci, Quaterly; Além disso, está disponível na literatura especializada de um conjunto de trabalho, onde muitos produziram grandes explorações científicas de física e matemática – Examão, esta é a relação com a dimensão fractal de Mandelbrot, ou a fracção contínua de Ramanujan. Sobre o assunto de suas aplicações, um dos autores mais entusiasmados é Stakhov (2005), menciona especificamente seu uso em ciência e engenharia.
Stakhov, estabelece e justifica uma nova abordagem que chama a matemática harmônica, inclui a teoria de números, teoria das funções hiperbólicas com base nos números de Fibonacci, bem como matrizes de Aureal; Mas o mais interessante, ele aponta que esta nova teoria é a fonte de criatividade em botânica, biologia, ciência da computação, engenharia de sistemas em comunicação, educação em matemática e na teoria da física de altas energias. Mas, independentemente das considerações de Stakhov, houve resultados históricos abundantes, como geometria de objetos de anura, quaterniões, números complexos e, claro, a dimensão fractal. Objetos como bonecos matriuskan, que se encaixam em outro, exemplificam fractais; Mathematician Benito Mandelbrot cunhou o termo de 1975, que constitui um conceito de capital na geometria e em sistemas extremamente irregulares conhecidos como caos. Os fractais representam uma tentativa extraordinária de descrever formas do mundo real, Livio (2006). A seguir, descreve seu relacionamento com o número de ouro geralmente representado como Ø = 
A relação entre o número de sub-objetos N, o fator de redução ƒ e o dimensionado d é
Walser Hans (2001) apresenta a relação entre natureza e fractais; Além disso, a partir da construção de uma árvore acordada, determina sua dimensão resultando em 1.4404, ou seja, não é um número inteiro, mas um número irracional.Para a árvore de Aureum 
Estado é satisfeito 2 = Ød, então é fácil ver que
Além de uma geometria de aurea ilustra retângulos, outros polígonos, elipses, polihedra e relacionamentos trigonométricos gerados lá.
Quaternions são os números de hypercomplex que significam deixar o plano complexo e construindo o espaço 3D complexo, um fato que gera novas álgebras, como Clifford. Serpil Halici, (2012), aponta a existência de quaternões de Fibonacci. Ou seja, há relações da variável complexa com a sequência de Fibonacci.
Alguns matemáticos consideram uma família de números com propriedades comuns, por exemplo, têm semelhanças ao demonstrar matematicamente sua irracionalidade, usando o cálculo infinitesimal, Huylebrouck (2001 ); Eles são os chamados números metálicos ou poema, o que significa a média extrema ordem. Distingue irracional desse conjunto são o número de Euler E, Zeta de Riemann ζ e π. Dos números de metal, a prata “div id =” 49e0d007fd “> e o bronze 
, surgem de uma forma de generalizar a sequência de Fibonacci. Como irracionais, eles podem ser representados em fracções infinitas contínuas; No início do século XX, Srinivasa Ramanujan encontrou uma expressão que inclui Ø, ey π tal que
no outro Mão, no mundo da física, a relação com certos fenômenos é abundante. Por exemplo, em estudos de processos de desintegração, que variam de sistemas de equilíbrio a não-equilíbrio, como o caso de diminuição das populações, a desintegração de rochas ou desvalorizações moedas, são formuladas com um mecanismo chamado diminações cumulativas, como buyukkhc e dimirhan ( 2008) ponto; Eles em seu trabalho usam os chamados conjuntos de canto, que levam a uma dimensão fractal. Dito método, forma uma teoria que provou sua utilidade na física de alta energia.
em cosmologia e astronomia O número de ouro é mencionado na estrutura do universo, a magnitude do sistema solar e a Saturno Anéis, Bennett (1999) também é relatado na relação dos rádios da Terra e do sol entre outros. Na mecânica quântica, é apresentado na proporção de frequências de um par de osciladores harmônicos, como mostrado por Bleher (1990). Também em física de estado sólido e cristalografia, materiais foram encontrados, como manganês de alumínio, com ambas as estruturas moleculares ambíguas, que não são amorfas ou periódicas, são chamadas quase cristais; Estes têm sua explicação física em um modelo matemático com base em uma configuração de Aurea, como os mosaicos da Penrose, Livio (2006). Por outro lado, sua presença também foi verificada no fator Landé do magnetismo. Abaixo é explicado o caso de estruturas ocultas chamada grupo E8.
No magnetismo, há obras como a da Affleck (2010) e Offline (2010) relatando a razão de ouro em materiais magnéticos compostos, uma vez que em uma coleção de partículas de estados ligados a massa é reduzida. O cálculo dos estados relativísticos inclui rotações próximas à velocidade de luz dada em termos de E = MC2 .Dado que merece uma análise relativista, determinando a relação de massa é um grande problema. Uma alternativa é por métodos da teoria quântica dos campos. Em sistemas de baixa dimensão existem soluções exatas. Auto relatórios resulta de um experimento com o material de cobalto de niobate c0nb2o6, onde há uma razão para a massa em termos do número de ouro. Estes estão relacionados às estruturas chamadas E8 (ocultas), uma das mais excepcionais e interessantes dos chamados grupos de mentira. O experimento de abandono demonstrou a razão em massa de dois niobatos de baixa energia cobalto cobalto, aproximando-se da proporção de Aurea. O experimento corroborou os resultados do cálculo baseado no quantum de campos e considerando um sistema de uma dimensão, foi determinada solução.
No entanto, há autores como Falbo (2005) e Markowsky (1992), Eles têm um ponto de vista diferente porque duvidam das qualidades desproporcionais atribuídas ao número do ouro. Aqui há declarações como Markowsky que diz: “Propriedades geralmente matemáticas são corretamente declaradas, mas muitas vezes as apresentadas em arquitetura, literatura e estética são falsas ou enganosas”. Ele diz que ele forjou vários mitos que são repetidos muitas vezes, e aponta erros na história do número de ouro, bem como certos patrimônios arquitetônicos e artísticos, como a grande pirâmide do Egito, o Partenon da Grécia, ou Construção da ONU em Nova York, pinturas por Leonardo da Vinci, não exibem dimensões de Osease. Da mesma forma, Falbo refere-se a uma espécie de “culto” para o número de ouro.Também demonstra como em certos casos, a afirmação de que a proporção de ouro tem um lugar especial entre os números, embora como uma descrição válida da natureza não seja compatível. Além disso, refuta a ideia de que é freqüentemente apresentado em arte e arquitetura. Por exemplo, ao agir, descobre que não há base para dizer que o número de ouro é naturalmente reproduzido nas conchas. Em particular, não há base para afirmar que é apresentado no Nautili. Ele também discute seu desacordo com Mario Livio que a razão de Aurea é “o número mais incrível do mundo”.
No entanto, o assunto pode ser plausível se for encaminhado ao trabalho de Stakhov, onde a direita A coisa é pensar na série Fibonacci como um princípio geral que pode ser aberto a aplicações tecnológicas específicas e específicas. Nosso trabalho trata dois problemas que podem ajudar no ensino de matemática e física, além de ter efeitos tecnológicos. Sabe-se que uma escadaria semi-infinita de resistores em série e em paralelo, tem aplicação em metrologia digital; E com relação aos estudos de resistência aerodinâmica, eles são realizados na indústria automotiva e aeroespacial.
Em primeiro lugar, um exercício popular de texto física foi analisado, o problema dos circuitos elétricos do tipo escadaria, ou também a semi-escadaria Resistência infinita. Este caso é tratado na infinidade de livros como M. Alonso e E. Finn (1967), e o de problemas para as Olimpíadas de Física (2007). Também na literatura especializada, Wörner (1999) trabalha cujo trabalho usa fracções contínuas, além de determinar elegantemente as voltagens de todo o circuito. Da mesma forma, Sanjinés (2010) apresenta soluções usando a representação da matriz da frequência de Fibonacci e o cálculo de autovalores. Ambos os trabalhos são novos formulários para resolver o mesmo problema. Aqui nossa tarefa para circuito com séries infinitas e resistências paralelas adiciona uma análise indutiva baseada na série Fibonacci, você também pode comparar essa solução com as frações contínuas usadas por Wörner.
imediatamente, com base no Works de Cruz et.al. (2010), onde o forte cone truncado de resistência a aerodinâmica mínima é determinado pela aplicação de uma solução algébrica, seus principais resultados que exigem análise prévia são apresentados, uma vez que o trabalho desse grupo de pesquisa contém um conjunto de demonstrações que podem enriquecer as lições de mecânicos de vetor e álgebra superior; Nossa contribuição tenta complementar essas análises com um tratamento numérico usando o Matlab. A análise é gerada para um cone de dimensão específica, com base nos resultados calculados por esse grupo, com o objetivo de facilitar os cálculos através do uso do Matlab.
Nelly Ametyst León Gómez (2006), refere-se a O estudo de tópicos como criptografia ou teoria dos números, o que pode dar aos alunos a oportunidade de abordar a matemática em um leve, para motivar a busca pelo conhecimento. Os problemas aqui tratados e discutidos podem ser expressos de maneira didática e alcançar esse propósito.
Matemática,
Aurea Razão e sequência de Fibonacci
Walser é um dos Os autores que melhor demonstram os conceitos. Se a menor taxa de segmento for definida entre um maior, tem a segunda equação
com raízes, tal que
O comprimento deve ser positivo, portanto, X1 é escolhido. Walser usa o recíproco disso como a razão de ouro. Da equação quadrática e ambas as raízes, muitas propriedades que podem ser usadas são observadas para derivar outros resultados. Por exemplo, se
O último pode ser generalizado em
Aplicar linearização de poderes são obtidos no coeficientes de números de Fibonacci de linearização, como
que satisfaz o rácio de recorrência
Se os valores iniciais, como A0 = 1 A1 = 1, são definidos 1,1,2,3, 5,8,13,21, 34,55 .. . Isso pode ser generalizado de várias maneiras.
Finalmente, da taxa sucessiva dos números de Fibonacci, o valor limite pode ser obtido,
Circuito elétrico de resistências infinitas em série e em paralelo.
Na Figura 1 Um circuito é descrito com uma quantidade infinita de resistores de igual valor A. Pode-se provar que o circuito equivalente é no formulário req = Ør.
fig.1. Circuito elétrico de resistências infinitas.
Para uma primeira demonstração indutiva, é baseada em um circuito de apenas 3 malhas, tal circuito é definido como Figura 2a.
FIG. 2a.circle com 3 malhas.
FIG. 2b. A última malha tem dois resistores seriais que estão paralelos com o seu adjacente.
Na Figura 2b, a fórmula de resistência equivalente é aplicada para circuitos paralelos, de modo como
Por outro lado, o circuito resultante é mostrado na Figura 3a:
FIG. 3a. O mesmo processo é observado: dois resistores em série (R + 2/3 R), que são paralelos com o adjacente.
FIG. 3b. Nova configuração resultante.
A Figura 3B permite determinar outra resistência equivalente do formulário
Processo para resolver o problema de três malhas, você dura as seguintes configurações.
fig.4. Resistência equivalente para três malhas.
Aplicar solução para este último é atingido
em um circuito de Quatro malhas A solução é req = 21/13 R. A presença da série Fibonacci é identificada Wörner faz uma demonstração com base em frações contínuas, usando o fato de que todo o número irracional pode ser representado como uma fracção infinita contínua, de tal maneira que O número de ouro é escrito
para o caso do circuito da Figura 3B pode ser expresso como
e finalmente para o circuito da figura 4,
Uma demonstração mais formal é feita no livro de problemas olímpicos, é proposto separar o circuito em duas seções, conforme mostrado na Figura 5.
fig. 5. Outra forma abreviada para configurar o circuito de infinitas resistências.
A parte direita da Figura 5 continua sendo uma coleção infinita de resistência e, portanto, é igual à Figura 1. Essa situação pode ser representada como na Figura 6. Portanto, pode ser considerado da seguinte forma:
FIG. 6. Circuito contendo na resistência equivalente Todos os outros.
Uma nova variável, como RE = R + Req é definida. Considerando o lado direito dessa equação como a resistência equivalente buscada, então tem
que quando resolvido o último é atingido a req = Ø R. A tarefa de procurar tensões e correntes em cada circuito está ausente.
Resistência que oferece o movimento um cone truncado.
O problema aerodinâmico de Newton para cones truncados, Como o do lado esquerdo da Figura 7, a solução tem uma surpresa agradável e é que ela pode ser demonstrada, de acordo com Cruz et al. (2010), que o cone de resistência mínima é aquele que é construído com proporções de Aureal. Nesse trabalho, há uma função para representar a resistência aerodinâmica, uma vez que é descrita de uma maneira geral.
É assumido que o cone permanece imóvel e as partículas se movem com velocidade constante ν. Primeiro, o caso de um cilindro de rádio A altura H H é analisada, lado direito Figura 7, os momentos lineares antes e depois do choque serão p1 = mv e p2 = mv.
fig. 7. Cone truncado e cilindro, o último é mais fácil e facilmente rápido.
com v = v. Somente as partículas que estão a uma distância menor que VΔT da base superior do cilindro podem colidir com ela no tempo Δt. Deixe ρ é a densidade do meio e V é o volume do cilindro de rádio R e altura vΔt. Os autores definem o RScial como a resistência do cilindro e demonstram claramente que é dado por Rely = 2πρv2r2.
Para o caso de um cone truncado de altura h com rádio de rádio X de rádio inferior, as colisões podem ocorrer na base superior e ao lado. Lado direito da figura 8.
Sea RS Resistência na base superior e resistência à RC no lado, então a resistência total r x será a soma de ambos r x = r s + rc.
FIG. 8. O resultado do cilindro é útil para resolver o cone truncado.
quando x = r tem a rc = 0, portanto, rr = rril; Além disso, usando o resultado para um cilindro, é calculado nesse trabalho, que a resistência da superfície é RS = 2πρv2x2.
Para obter a resistência do lado RC, pode-se observar como as partículas que colidem contra o lado do cone em um tempo Δt são aquelas que estão em um “cilindro” oco, como o de O lado esquerdo da Figura 8, cujo volume é o mesmo que o do cilindro oco de altura vΔt, do interior do rádio do raio externo RY X. Em considerações semelhantes ao primeiro caso, adicionando uma análise de álgebra e trigonometria básica, tal função que RC = 2πρ R2- X2 V2COS2A.
Ao adicionar RS e RC é obtido R X = 2πρv2x2 + R2 – x2 cos2a.
Usando a proporção do cosseno na figura 8,
também se k for definido 2πρv2 então tem a função da resistência aerodinâmica,
Para procurar o cone truncado de resistência mínima que você tem que encontrar o Valor mínimo de R (x) no intervalo 0 < x < r. É equivalente a encontrar o mínimo da CE. (21). Para modificar um pouco, a função é adicionada e subtraída H2 no numerador é então,
e, portanto, minimizar f (x ) para 0 < x < r é igual a maximizar
Nossa contribuição pode agora ser levantada, é sobre gerar um determinado cone e ser capaz de facilitar o cálculo; Portanto, uma solução é proposta com o método gráfico. Da equação, há um caso tal que h = r = 1, ao substituir na CE. (23), a função a ser derivada é
primeiro, seu gráfico é gerado em 0 < x < 1, como mostrado na Figura 9, ele tem um máximo entre 0,30 e 0,40. Ao derivar CE. (24) e combinar zero, problema equivalente a buscar a raiz da equação derivada. Aplicando os comandos MATLAB apropriados, o zero da função é obtido.
Se a equação for gráfico (24) e ( 25), sua validade é observada na Figura 10.
FIG. 9 gráfico de um máximo próximo a 0,40
figo. 10. A raiz é observada por 0,40
para construir uma base de cone H e rádio R, que ao truncá-la à altura h produz um cone de resistência mínimo, procedendo de acordo com a Figura 11. É fácil Determine que a altura H deve ser dada por
Se feito h = r, então h = tr. Com 
.
para o caso do cone de dimensão particular R = 1, h = 1, é usado para a Figura 11, onde pode ser visto como A dimensão do retângulo Aureum é consistente com o caso particular. Portanto, o cone de resistência mínimo tem dimensões oranas. A figura 12 mostra o retângulo do caso particular proposto.
FIG. 11. Método de construção de um retângulo Aureum.
FIG. 12. Retângulo Aureum que testa a validade do método relatado
agora outra maneira de corroborar o resultado é usar o ângulo de um retângulo agone, onde ele pode ser observado que assim (90º – 58,28 °) = 1Ø; A seguinte tarefa é demonstrar o resultado sem o Matlab, isto é, por análise algébrica.
Discussão de resultados Analisados para cada problema, uma análise complementar dos autores consultados é obtido. No circuito da escadaria semi-infinita da resistência ôhmica, a solução indutiva pode ser conectada com o uso de representação em frações contínuas que Wörner faz. Na solução do problema olímpico, links para testar, principalmente ao construir a equação da segunda série. Também é possível resolver o problema se você tiver uma fonte de tensão. Em outras referências, existem esses tratamentos. O cálculo da energia e da intensidade está pendente em todo o circuito.
No problema do cone truncado de resistência mínima, uma análise é apresentada, com base no método de Jaime Cruz Sampedro. Nossa contribuição testa a validade da proposta, aplicando-se a seu resultado a um caso particular, isso nos permite facilitar o cálculo do derivado; Além disso, torna possível gritar e verificar através de uma tarefa numérica a veracidade das fórmulas consultadas. É importante, neste caso, realizar todas as manifestações geradas no trabalho de consulta, uma vez que constitui uma lição exemplar. A tarefa perdida é testar a equação (21), (22) e (23) por um caminho diferente.
Conclusões
A divergência de idéias entre Falbo, Markowsky e Stakhov, Efeitos positivos no estudo do sujeito porque o primeiro consegue tirar o halo mágico atribuível; No entanto, é desejável que a fundação da matemática harmônica, que implica um grande desafio.Nosso trabalho tenta demonstrar o crescente papel da sequência de Fibonacci na didática de física e matemática de forma agradável, portanto, os dois problemas são considerados úteis neste contexto. O problema do circuito pode ser estendido, fazendo outras configurações de escadas semi-infinitas de capacitores ou cálculos de tensão. Para o caso da aerodinâmica, nossa abordagem é baseada no gráfico e derivado resolvido. Nossa colaboração é demonstrar o resultado consultado. O valor que maximiza a função, está incluído ao desenhar um retângulo Aureum. Nossa análise tem valor demonstrativo com o uso de software. É necessário esclarecer a possibilidade de deixar o contexto newtoniano e explorar outros métodos. Por fim, não ignore os comentários das habilidades matemáticas formativas envolvidas em ambos os exercícios, e as oportunidades que se abrem para convidá-lo a explorar maravilhas, como os fractais de Mandelbrot e o legado de Ramanujan.
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Recebido em 12 de setembro de 2012; Aceito 08 de novembro de 2012; Versão final recebida 10 de janeiro de 2013.