hoje nós finalmente publicamos a solução e os finalistas e vencedores do infinito Desafio de encosta que levantamos há cerca de três semanas. A primeira questão do desafio foi relativamente simples: qual é a expressão do ângulo $ \ ‘que forma a direção do movimento do objeto com a direção “downhill”?
A simplicidade relativa foi devida, sobre Tudo, o fato de que, embora não saibamos essa expressão, sabemos seu valor inicial e seu valor após muito tempo. Inicialmente, fomos indicados que a direção foi perpendicular à “Downhill”, então $ \ THETA (0) = 90 ^ {\ \ circ} $, e o ângulo tende, como o tempo passa, para se tornar mais e menor, até ao limite de um tempo infinito atinge o valor $ \ theta (\ fraty) = 0 ^ \ circ} $ Então, depois de obter uma expressão de ângulo em função do tempo, foi possível pelo menos – embora eu não tenha certeza de que a resposta está correta – verifique se seus valores para um tempo nulo e um tempo muito grande foram os corretos .
Muitos de vocês responderam corretamente a essa pergunta, que foi a exigência de receber o segundo. No entanto, alguns explicaram bem o processo. Uma explicação clara é a de um dos finalistas, José Manuel:
Primeiro de tudo, realizamos um esquema da situação e encontro a expressão de ângulo θ. No meu caso, chamei VX a velocidade no sentido de inclinação e V e para sua perpendicular no plano. Lembre-se de que o objeto tem uma velocidade inicial v0 com precisão na direção e.
tan \ theta = \ Frac {v_y} {v_x} \ righttarrow \ theta = atan \ frac {v_y} {v_x} $
no caso ideal em que não há atrito, nem com a superfície nem com o ar, ambas as velocidades pode ser analisado de forma completamente independente. Porque? Vamos ver as forças que entram em jogo:
Como vemos, as únicas forças no corpo Eles são a gravidade FG (decomposta em componentes x e z) e força normal N, que é aquela que exerce o avião no corpo e impede que ele passe por ele. Sem atrito, não há força no eixo y. O normal e o componente da força da gravidade são cancelados em Z, para que a única força resultante seja o componente do peso em X. É algo semelhante ao que acontece quando um O tiroteio parabólico é estudado: a composição de dois movimentos é considerada, uma com velocidade constante e outra perpendicular, uniformemente acelerada.
Nós achamos, portanto, a força resultando em X. É o suficiente para saber a expressão de A força da gravidade e encontrando sua projeção. Sendo a massa do objeto yg aceleração da gravidade:
$ f_g = mg \ rightarrow f_x = mg \ α \ alpha $
aplicamos a segunda lei de Newton:
$ F_X = A_X m \ Rightarrow A_x = \ FAC {F_X} {m} $
Agora, uma vez que há apenas uma força constante nessa direção, estamos enfrentando um movimento uniformemente acelerado. Bem como a velocidade inicial nessa direção é NULL:
$ v_x = a_x t $
para que:
$ v_x = g (\ sin \ Alpha) T $
Como pode ser visto, x Speed é independente da massa. Eu acho que Galileo se sentiria satisfeito.
A velocidade no eixo e nós sabemos desde o começo. Se, como dissemos, não há forças aplicadas neste eixo, o corpo continuará a se mover nessa direção com sua velocidade inicial (primeira lei de Newton).
$ v_Y = v_0 $
Portanto, já temos as duas velocidades. θ restos:
$ \ theta = atan \ frac {v_0} {g (\ sin \ alfa) t} $
Se você quiser ler a solução de José Manuel com calma e com o formato original, é melhor que o que eu mostro aqui, você pode baixá-lo aqui: JM Solution.
Quem respondeu corretamente a esta pergunta recebida o segundo Parte, que foi assim:
considera a seguinte modificação para o problema: a situação é a mesma que antes, mas agora há atrito. O coeficiente dinâmico de atrito com o plano inclinado é MU = TG30 (a 30ª tangente, se não ler bem). E a questão é – qual será o valor do ângulo Theta após um longo tempo muito longo (você pode considerá-lo infinito)?
Aqui está, a propósito, onde hesitei entre esta questão E outro e final eu coloco a perna e eu te disse que você tinha a resposta errada para muitos que você tinha bem … burro que é um. O fato é que a resposta à pergunta foi que o ângulo tende ao mesmo valor que antes, isto é, zero graus: o objeto acaba se movendo exatamente na mesma direção que sem atrito, na direção “downhill”.
Antes de incluir a resposta de algum finalista, uma nota que pode ser usada para aqueles que responderam mal: a força de fricção é sempre direcionada contra o movimento. Alguns escreveram a expressão da força de fricção na direção em decadência e não na perpendicular, e alguns incluí-lo em ambos, mas com $ 5m $ valor em cada um, mas tanto uma coisa como a outra está errada.
De fato, o problema com esta segunda pergunta foi que, uma vez que a direção do movimento do corpo muda ao longo do tempo, a direção da força de atrito também faz isso, de modo que seus componentes XE e no plano têm expressões que variam no tempo de acordo com a velocidade do objeto gira. O módulo da força de fricção é constante, mas seu endereço não faz.
Observa que, neste caso, não foi perguntado, como na primeira questão, a expressão de θ dependendo do tempo, mas simplesmente seu valor No limite de um tempo infinito. Foi possível razões como ele fez o segundo finalista, bevender:
se $ \ mu $ é tg30 °, então a força de fricção é $ \ mu $ Normal = TG 30º cos 30º10 m / s ^ 2Masa = 5m Newtons.
Casualmente o módulo da Força de Fricção e a Força Do Downcend são a mesma (5 * Newtons Mass). . No entanto, a direção é diferente, pelo menos no início, já que a força de fricção é paralela ao movimento com a direção oposta.
Encontre a força de cobertura de vetor nas minhas coordenadas 2D, é equivalente a encontrar 5 * m (cos θ, sen θ), onde θ é o ângulo que forma o movimento. Incluindo o efeito do atrito!
Eu não faço isso. Mas se eu vejo claro que, embora o corpo se mova na direção “sem descida”, a força de fricção continuará a se desgastar ao componente OY paralelo à velocidade do V0 original, enquanto o componente OM continuará a ter uma aceleração positiva. F.caída + f.roment = (5m-5mcosθ, -5msenθ)
pelo menos enquanto θ é estritamente maior que zero.
por pequeno é θ, se for maior do que zero, para o segundo seguinte será ainda menor, e o movimento vai se tornar mais e mais descida. E eu vejo duas opções:
ou nenhum zero é alcançado, mas pelo que é dito no parágrafo anterior O limite é zero. Ou o θ = 0 é atingido, com o qual as forças são compensadas e nosso movimento se torna um movimento uniforme de velocidade (zero aceleração).
Em qualquer caso, o objeto acabaria deslizando “downhill” à velocidade constante (ou que pareceria a ninguém que olha o suficiente).
Finalmente, para aqueles que respondem Corretamente esta questão veio o terceiro:
Efetivamente, após muito tempo o objeto se move completamente “downhill” e o ângulo é 0. Agora eu te digo uma coisa que eu (embora eu gostaria que você possa provar, Embora não seja parte do desafio): Depois disso, a velocidade será constante. E a questão final é: o que é essa velocidade constante depois de um longo tempo?
Esta questão era muito mais do que a anterior, por causa de tentar obter uma expressão de velocidade dependendo do tempo, um monstruoso era obtido assustador. Antes desse horror havia duas opções: uma era usar a análise numérica (um programa de computador caseiro, uma planilha, etc.), e o outro era realizar algo muito curioso e importante e agir de acordo.
Os dois finalistas cujas soluções que demonstrei, Bevender e José Manuel, usavam aproximações numéricas, e ambos obtiveram a resposta correta dessa maneira: a velocidade na qual o objeto tende é metade da velocidade com a qual começou.
Mas há uma elegante demonstração analítica, que é aquela que obteve a equipe vencedora, formada por Mononi e sua filha. Como um Max Planck, qualquer Monchi ganhou numericamente a mesma solução que os finalistas, e imagino que, como se surpreendiam com a aparente coincidência que a velocidade final era metade da inicial. Mas, como pensou Planck, há poucas coincidências na física.
Então, Monchi olhou para o problema novamente e encontrou a elegante demonstração que deixo aqui. A explicação da solução não é dele, a propósito, mas de sua filha, cujo nome eu não me atrevo a colocar aqui porque esqueci de lhe perguntar permissão. Sorte, a propósito, por seu exame – seu pai malévolo usou o desafio como treinamento para esse exame, demonstrando assim a dureza de seu coração -.
O negrito da ênfase é minha porque essa frase é aquela que deve fazer “on lâmpada” naqueles que quase chegaram a este:
Na segunda parte, temos um corpo que recebe duas forças paralelas à superfície do avião. A primeira força é correspondente à gravidade que atua na direção downhill. Isso é igual a: m · a · sen30 = 5m.A segunda força é correspondente ao atrito que atua na direção contrária do movimento (V (T)), que forma um ângulo θ (T) com o declive. Vale tg30 · n · cos30º = 10m · sen30º, que é igual a 5m.
a força “downhill” (FCA) é igual a força na velocidade (FV), para a qual a aceleração do corpo pode ser dividido em duas acelerações de igual valor. Um na mesma direção VAC, e outro em direção contrário a v.
A velocidade VCA (T) após um intervalo ΔT será o mesmo para a VAC (T ) + AΔt, e vc (t) serão iguais a v (t + Δt) = v (t) -aΔt. Estas duas acelerações são as mesmas, por assim Aδt = VCA (t + Δt) -VCA (T) = V (T) -v (t + Δt). De lá nós alcançamos V (T) + VAC (T) = V (T + Δt) + VCA (t + Δt), o que significa que a soma de V e VAC é constante .
como no Instant Initant v (0) = v0 e VAC (0) = 0 também, temos v + vaca = v0.
Sabemos por trigonometria que vcosθθ . De lá, chegamos a Vtosθ = v (1 + cosθ) = v0 e, portanto, v = v0 / (1 + cosθ).
Queremos saber qual valor o ângulo θ tende. Para isso eu Tome como origem coordenada um ponto que se move para baixo, mantendo a altura do Cu ERPO. O corpo se move através desse eixo X com uma velocidade inicial (V0), e está parando em seu movimento, já que há atrito. Como não há nada que aumente sua velocidade e vai freando, a velocidade tende a 0. Após um tempo suficiente a velocidade no eixo X não será apreciável versus a velocidade de descida, então o ângulo que formará o total de velocidade com o total de velocidade O endereço tenderá a 0.
Portanto, depois de muito tempo a velocidade será v = v0 / (1 + cos0) = v0 / 2.
Você pode ler a explicação completa, que inclui a resposta para a primeira pergunta, aqui.
Espero que você se divirta como Bellacos lutando com esse desafio, e que você lembra que o coisa importante não é alcançar a solução correta, mas para dar as células cinza. Parabéns aos finalistas e dos vencedores, e até o próximo desafio!