une famille de problèmes d’investissement intrinsèquement plus difficiles sont conjointement appelés investissements non linéaires.
problèmes non linéaires ont une relation plus complexe entre les données et le Modèle, représenté par l’équation:
d = g (m) {\ displaystyle \ d = g (m)}
ici g {\ displaystyle g}
est un opérateur non linéaire et il ne peut pas être séparé pour représenter une correspondance linéaire des paramètres du modèle qui forment m {\ displaystyle m}
dans les données. Dans ce type de problème, la première chose à faire est de comprendre la structure du problème et de donner une réponse théorique aux problèmes d’Hadamard (de manière à ce que le problème soit «résolu du point de vue théorique»). Une fois que cela est fait, il est suivi avec l’étude de la régularisation et des interprétations de l’évolution des solutions avec de nouvelles mesures (probabilistes ou autres). Par conséquent, les sections correspondantes ne font pas vraiment référence à ces problèmes.
Alors que les problèmes d’investissement linéaire ont été complètement résolus du point de vue théorique à la fin du 19ème siècle, un seul type de problèmes non linéaires était avant 1970: le problème spectral inverse et la dispersion inverse (dans un espace de une dimension), après le travail fondamental de l’école mathématique russe (Kerin, Gelfand, Levitan, Marchenko). Chadan et Sabatier donnent une étude approfondie des résultats dans son livre «Problèmes inverse de la théorie de la dispersion quantique» (avec deux éditions en anglais et une en russe). Dans ce type de problèmes, les données sont des propriétés du spectre d’un opérateur linéaire décrivant la dispersion. Le spectre est formé par des valeurs autonomes et des autofonctions, formant le « spectre discrète », (…..) le spectre continu. Le (….) est que les expériences de la dispersion fournissent des informations uniquement du spectre continu, et la connaissance de son spectre complet est nécessaire (et suffisante) pour récupérer l’opérateur de dispersion. Par conséquent, nous avons des paramètres invisibles, beaucoup plus intéressants que l’espace NULL qui possède une propriété similaire dans les problèmes linéaires inverse! De plus, il existe des mouvements physiques où le spectre d’un tel opérateur est préservé avec le mouvement. Ces mouvements sont régis par des équations différentielles partielles spéciales, par exemple la « Kortteveg -de Vries ». Si le spectre d’un opérateur est réduit à une seule valeur personnelle, le mouvement correspondant est celui d’un seul coup qui est étendu avec une vitesse constante sans déformation, une onde solitaire appelée « soliton ». Il est clair qu’un tel signe parfait et ses généralisations pour l’équation de Korteweg-de Vries ou d’autres équations différentielles partielles non linéaires intégrées revêtent un grand intérêt, avec de nombreuses possibilités d’application et sont actuellement étudiées comme une branche de la physique mathématique de 1970.
Les problèmes d’investissement non linéaires sont également étudiés dans de nombreux domaines de sciences appliquées (acoustique, mécanique mécanique, mécanique quantique, dispersion électromagnétique, ondes radar, sismique, dans toutes sortes de traitement d’image, etc.).