La matrice jacobienne est une matrice formée par les dérivés partiels de premier ordre d’une fonction. L’une des applications les plus intéressantes de cette matrice est la possibilité d’approximativement linéairement à la fonction à un moment donné. En ce sens, le jacobien représente le dérivé d’une fonction multivariée.
Nous devons parler plus que la matrice jacobienne, une application linéaire jacobienne ou jacobienne car la forme de la matrice dépendra de la base ou des coordonnées choisies. C’est-à-dire que deux bases différentes, la demande linéaire jacobienne aura des composants différents, même dans le cas du même objet mathématique. La propriété de base de la « matrice » jacobienne est la suivante, étant donné une application soit F: R N → R M {\ DisplayStyle \ mathbf {f}: \ mathbb {r} {r} \ to \ mathbb {r} ^ {m} }
continu , c’est-à-dire f ∈ c (k) (rn, rm) {\ displaystyle \ mathbf {f} {{\ mathcal {c}} ^ {(k)} (\ mathbb {r} ^ {n}, \ mathbb {r } m)}
On dira qu’il est différent s’il y a une application linéaire λ ∈ L (rn, rm) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}} \ in {{\ \ \ lambda}} (\ mathbb {r} un, \ mathbb {r} m)}
tel que:
(1) lim> x – et « → 0 → 0 → (x) – F (Y)) – λ (x-y) ‖ ‖ x – et ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim \ \ mathbf {et} \ | \ to 0} {\ frac {\ | (\ mathbf {F} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {f} (\ mathbf {and})) – {\ boldsymbol {\ lambda}} (\ mathbf {x} – \ mathbf {and}) \ |} {\ | \ | \ mathbf {x } – \ mathbf {and} \ |}} = 0}
fonction d’évolution
Commençons par le cas le plus simple d’une fonction scalaire F: RN → R {\ DisplayStyle \ scriptyle f: \ mathbb {r} n \ to {r}}
. Dans ce cas, la matrice jacobienne sera une matrice formée par un vecteur de ligne qui coïncide avec le dégradé. Si la fonction prend en charge des dérivés partiels pour chaque variable, on peut voir qu’il suffit de définir la « matrice » jacobienne comme suit:
λ (x): = ∇ ) = {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}} (\ mathbf {x): = {\ boldsymbol {{x}) = {\ begin {bmatrix} {\ cfrac {\ partial f (\ mathbf {x}) } {\ Partial x 1}} & \ ldots & {\ cfrac {\ partial mathbf {x})} {\ partielle xn }} \ fin {bmatrix}}}
« b9d0a3367d »>depuis le rapport (1) sera rempli, Donc, dans ce cas, la « matrice jacobienne » est précisément le gradient.
Fonctionné vectoriel
Supposons F: R N → R M {\ displaystyle \ mathbf {f}: \ mathbb {r} ^ {} \ to \ mathbb {r} m}
<0dd84e4115 "> {\ displaystyle {f}: \ mathbb {r} {f} \ to \ mathbb {r} m }est une fonction qui va de l’espace euclidien N-dimensionnel à un autre espace euclidien dimensionnel m-dimensionnel.Cette fonction est déterminée par M Real Scalar Fonctions:
Yi = fi (x 1, …, xn), y = f (x) = (F 1 ( x), …, F m (x)) {\ DisplayStyle Y_ {i} = F_ {I) (X 1, \ ldots, xn), \ qquad \ mathbf {et} = \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) = (F 1 (\ mathbf {x), \ dots, fm {m} (\ mathbf {x}))}
Lorsque la fonction ci – dessus est différentiables , ensuite les dérivées partielles de ces fonctions M peuvent être organisées dans une M par matrice N, la matrice jacobienne de F:
{{\ cfrac { \ Relan {bmatrix} {\ x_ partielle {1}} {\ x_ partielle}} & \ cdots & {\ cfrac {\ y_ partielle} {\}} partielle xn vdots \\\ & \ DDOTS & \ vdots \\ {\ cfrac {\ partial et {m}} {\ partial x 1}} & \ cdots & {\ cfrac {\ y pl} partielle} {\ X_ partielle {n}}} \ end {bmatrix}}}
<1}} {\ partial X 1}} \ & cdots {\ cfrac {\ y_ partielle} {\ XN partielle}} \ \\\ vdots ddots \ vdots \\ {\ cfrac {\ y partielles {m}} {\ partial x 1}} \ cdots & {\ cfrac {\ partial ul y} {\ x_ partielle {n}}} \ end {bmatrix}}
Cette matrice est remarqué de différentes manières:
jf (x 1, …, xn), ou ∂ (et 1, …, YM ) ∂ (x 1, …, XN), ou DF (x 1, …, XN), ou ∇ F (x 1, …, XN) {\ DisplayStyle J \ mathbf {F}} ( X 1, \ ldots, xn), \ qquad {\ mbox {ou}} \ qquad {\ frac {\ partial (y_ {1, \ ldots, Y ™)} {\ partielle (X 1, \ ldots, xn) }}}} \ qquad {{ou}} \ qquad d {f} (X 1, \ ldots, X_ {N}), \ qquad {\ mbox {ou}} \ qquad \ Nabla {{{\ boldsymbol {\ mathbf {f}}} (x1}, \ ldots, x_ {n)}
Notez que la I-cette ligne coïncide avec le gradient de la Yi fonction, pour tout i = 1, …, m.
si p est un point de rn et f, il est différent dans P, puis son dérivé est donné par JF (P). Dans ce cas, l’application linéaire décrit par JF (P) est la meilleure approximation linéaire près de la pointe P, de cette façon:
f (x) ≈ F (p) + JF (P) (XP) {\ DisplayStyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ approx \ mathbf {F} (\ mathbf {Q) + J _ mathbf {f}} (\ mathbf {}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {})}
pour x près p. Ou plus exactement:
LIM ‖ x – p ‖ → 0 ‖ f (x) – f (p) – JF (p) (x – p ) ‖ ‖ X – P ‖ = 0 {\ DisplayStyle \ Lim \ \ mathbf {} \ | \ 0} {\ frac {\ | \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {f} ( \ mathbf {}) -JP {\ mathbf {f}} (\ mathbf {}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {}) \ |} {\ | \ mathbf {x} \ mathbf {p} \ | }} = 0}
dans certains espaces vectoriels de dimension non-finie, constituée par des fonctions, le concept de la matrice jacobienne peut être généralisée en définissant une application jacobienne linéaire.
des exemples
l’ exemple 1. La matrice jacobienne de la fonction F: R3 → R3 définie comme suit:
f (x 1, x 2, x 3) = (x 1, 5 x 3, 4 x 2 2 2 – 2 x 3) {\ displaystyle F (X 1, X2, X3) = (X 1, 5x 3, 4x 2 2 -2x 3)}
est la suivante :
jf (x 1, x 2, x 3) = {\ displaystyle j_ {f} (x_ 1, x2, x_3) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & -2 \ end {bmatrix}}}}
pas toujours la matrice jacobienne est carrée. Voir l’exemple suivant.
exemple 2.Supóngase La Función F: R3 → R4, Cuyas Components Son:
Y 1 = 1 / x 1 {\ displaystyle y_ {1} = 1 / x_ {1} \;}
<073985093B "> y_ {1} = 1 / x_ {1} \;y 2 = 5 x 3 {\ displaystyle y_ {2} = 5x_ {3} \,}
= « 2ED6163B5C »> Y_ {2} = 5x_ {3} \,y 3 = 4 x 2 2 – 2 x 3 {\ displaystyle y_ {3} = 4x_ {2} ^ {2 } -2x_ {3} \,}
Y 4 = x 3 sin (x 1) {\ displaystyle y_ {4} = x_ {3} \ sin (x_ {1}) \,}
aplicando la définición de matriz jacobiana:
JF (x 1, x 2, x 3) = =. {\ displaystyle j_ {f} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {3}) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ partiel x_ {1}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {2}}} & {\ dfrac {\ partiel y_ {1}} {\ partial x_ {3}}} \\ {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {1}}} & {\ \ dfrac {\ partital y_ {2}} {\ partial x_ {2}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {3}}} \\ {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partielle x_ {1}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partiel x_ { 2}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ {3}}} \\ {\ dfrac {\ partial y_ {4}} { \ partiel x_ {1}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {4}} {\ partial x_ {2}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {4}} {\ partial x_ {3}}} \\\ fin {bmatrix}} = {\ commencez {bmatrix} -1 / x_ {1} ^ {2} & 0
« 8A9D3B3779″>0 \\ 0
0 \\ 0« 8a9d3b3779″>0
5 \\ 0 & 8x_ {2} & -2 \\ x_ { 3} \ cos (x_ {1}) & 0
0\ sin (x_ {1}) \ fin {bmatrix}}. }
