Aujourd’hui, nous publions enfin la solution et les finalistes et le gagnant du défi de la pente infini que nous avons élevé il y a environ trois semaines. La première question du défi a été relativement simple: quelle est l’expression de l’angle $ \ ‘qui forme la direction du mouvement de l’objet avec la direction « en descente »?
La simplicité relative était due à environ Tout, le fait que, même si nous ne connaissions pas cette expression, nous connaissons sa valeur initiale et sa valeur après une très longue période. Au départ, nous étions indiqués que la direction était perpendiculaire à la « descente », puis $ \ theta (0) = 90 ^ {\ \ \ circ} $ et l’angle tend, comme le temps passe, pour devenir de plus en plus petit, jusqu’à ce que la limite d’un temps infini atteigne la valeur $ \ theta (\ \ \ circ} $ = 0 ^ \ circ} $ Ainsi, après avoir obtenu une expression d’angle en fonction du temps, c’était possible au moins – bien que je ne vous ai pas assuré que la réponse soit correcte – vérifiez que vos valeurs pour un temps nulle et une très grande période étaient les bonnes .
Beaucoup d’entre vous ont répondu correctement à cette question, ce qui était l’obligation de recevoir la seconde. Cependant, certains ont expliqué le processus grand bien. Une explication claire est celle de l’un des finalistes, José Manuel:
Tout d’abord, nous effectuons un schéma de la situation et trouvons l’expression de l’angle θ. Dans mon cas, j’ai appelé VX à la vitesse dans le sens de la pente et du V et à sa perpendiculaire dans l’avion. Rappelez-vous que l’objet a une vitesse initiale v0 précisément dans la direction et.
tan \ theta = \ Frac {v_y} {v_x} \ rightarow \ theta = atan \ frac {v_y} {v_x} $
dans le cas idéal où il n’y a pas de friction, ni avec la surface ni avec l’air, ni avec l’air, les deux vitesses peut être analysé complètement indépendamment. Parce que? Regardons les forces qui entrent en jeu:
Comment nous voyons, les seules forces sur le corps Ils sont la gravité FG (décomposée dans les composants X et Z) et la force normale N, qui est celle qui exerce l’avion sur le corps et l’empêche de le traverser. Sans frottement, il n’y a pas de force sur l’axe Y. La normale et la composante de la force de gravité sont annulées dans Z, de sorte que la seule force résultante est la composante du poids dans X. C’est quelque chose de similaire à ce qui se passe quand un La prise de vue parabolique est étudiée: la composition de deux mouvements est considérée, l’une avec une vitesse constante et une autre perpendiculaire, uniformément accélérée.
Nous trouvons donc la force qui aboutit à X. Il suffit de connaître l’expression de l’expression de La force de la gravité et la recherche de sa projection. Être m la masse de l’objet yg accélération de la gravité:
f_g = mg \ rightarrow f_x = mg \ α \ alpha $
Nous appliquons la deuxième loi de Newton:
$ f_x = a_x m \ researrow a_x = \ facc {f_x} {m} $
MAINTENANT, car il n’y a qu’une force constante dans cette direction, nous sommes confrontés à un mouvement uniformément accéléré. Ainsi que la vitesse initiale dans cette direction est null:
v_x = a_x t $
de sorte que:
$ v_x = g (\ sin \ Alpha) T $
Comme on peut le voir, la vitesse x est indépendante de la pâte. Je suppose que Galileo se sentirait satisfaite.
La vitesse de l’axe et nous le savons depuis le début. Si, comme nous l’avons dit, il n’y a aucune force appliquée sur cet axe, le corps continuera de se déplacer dans cette direction avec sa vitesse initiale (première loi de Newton).
v_y = v_0 $
Par conséquent, nous avons déjà les deux vitesses. θ reste:
$ \ theta = atan \ frac {v_0} {g (\ sin} {g (\ sin \ alpha) t} $
Si vous voulez lire la solution de José Manuel’s calmement et avec le format original, c’est mieux que celui que je montrent ici, vous pouvez la télécharger ici: JM Solution.
Qui a répondu correctement à cette question. Partie, qui était comme ceci:
considère la modification suivante au problème: la situation est la même qu’avant, mais maintenant il y a des frictions. Le coefficient dynamique de frottement avec le plan incliné est MU = TG30º (la 30ème tangente, si elle ne lit pas bien). Et la question est – quelle sera la valeur de l’angle de theta après une très longue période très longue (vous pouvez le considérer infini)?
Voici, au fait, où j’ai hésité entre cette question Et une autre et la finale je mets la jambe et je vous ai dit que vous aviez la mauvaise réponse à beaucoup que vous aviez bien … âne qui est un. Le fait est que la réponse à la question était que l’angle a tendance à atteindre la même valeur qu’auparavant, c’est-à-dire zéro degrés: l’objet finit par déplacer exactement dans la même direction que sans frottement, dans la direction « Downhill ».
Avant d’inclure la réponse de certains finalistes, une note qui peut être utilisée à ceux qui ont mal répondu: la force de friction est toujours dirigée contre le mouvement. Certains ont écrit l’expression de la force de friction dans la direction en descente et non dans la perpendiculaire, et certains l’ont inclus dans les deux mais avec une valeur de 5 millions de dollars dans chacun, mais une chose et l’autre est fausse.
En fait, le problème de cette deuxième question était que, puisque la direction du mouvement du corps change au fil du temps, la direction de la force de friction le fait également, de sorte que ses composants XE et sur l’avion ont des expressions qui varient dans le temps en fonction de la vitesse de l’objet tourne. Le module de la force de friction est constant, mais son adresse ne le fait pas.
note que dans ce cas, il n’a pas été demandé, comme dans la première question, l’expression de θ selon le temps, mais simplement sa valeur Sur la limite d’un temps infini. Il était possible de raisonner comme il faisait la deuxième finaliste, bevender:
si $ \ mu $ est TG30 °, puis la force de friction est $ \ mu $ NORMAL = TG 30ème COS 30º10 M / S ^ 2MASA = 5M NEWTONS.
PRÉSOULE Le module de la force de friction et la force de descente sont les mêmes (5 * masse de Newtons). . Cependant, la direction est différente, au moins au début, lorsque la force de friction est parallèle au mouvement avec la direction opposée.
Trouvez la force de toiture de vecteur dans mes coordonnées 2D, il est équivalent à la recherche de 5 * m (cos θ, sen θ), où θ est l’angle qui forme le mouvement. Y compris l’effet de friction!
Je ne fais pas ça. Mais si je vois clairement que pendant que le corps se déplace dans la direction « Pas de descente », la force de friction continuera d’usure au composant OY parallèlement à la vitesse V0 d’origine, tandis que le composant OM continuera d’avoir une accélération positive. F.caída + f.roment = (5m-5mcosθ, -5msenθ)
au moins θ est strictement supérieur à zéro.
par petit il est θ, si c’est plus grand que zéro, au deuxième prochain sera encore plus petit, et le mouvement ira devenir de plus en plus en descente. Et là, je vois deux options:
ou aucun zéro n’est atteint, mais par ce qui est dit dans le paragraphe précédent La limite est zéro. ou le θ = 0 est atteint, avec lequel les forces sont compensées et que notre mouvement devient un mouvement de vitesse uniforme (accélération zéro).
Dans tous les cas, l’objet se retrouverait « La descente » coulissante à la vitesse constante (ou qui semblerait à n’importe qui suffisant).
Enfin, à ceux qui répondent Correctement cette question est venue le troisième:
efficacement, après très long terme, l’objet se déplace complètement « en descente » et l’angle est de 0. Maintenant je vous dis quelque chose de moi (bien que je voudrais que vous puissiez le prouver, Bien que cela ne fait pas partie du défi): Après cela, la vitesse sera constante. Et la dernière question est la suivante: quelle est sa vitesse constante après une longue période?
Cette question était beaucoup plus maudite que la précédente, en raison de la tentative d’expression de vitesse en fonction du temps, un monstrueux était obtenu effrayant. Avant cette horreur, il y avait deux options: l’une utilisait l’analyse numérique (un programme informatique fait maison, une feuille de calcul, etc.), et l’autre devait réaliser quelque chose de très curieux et important et d’agir en conséquence.
Les deux finalistes dont les solutions que j’ai montrées, Bevender et José Manuel, ont utilisé des approximations numériques et ont obtenu la bonne réponse de cette manière: la vitesse à laquelle l’objet tend est la moitié de la vitesse avec laquelle elle a commencé.
Mais il existe une manifestation analytique élégante, qui est celle qui a obtenu l’équipe gagnante, formée par Mmononi et sa fille. En tant que Max Planck, Mmonchi a gagné numériquement la même solution que les finalistes, et j’imagine que comme ils étaient surpris par la coïncidence apparente que la vitesse finale était la moitié de l’initiale. Mais, comme pensa Planck, il y a peu de coïncidences en physique.
SO Mmonchi a de nouveau examiné le problème et a trouvé la démonstration élégante que je pars ici. L’explication de la solution n’est pas la sienne, au fait, mais de sa fille, dont je n’ose pas mettre ici parce que j’ai oublié de lui demander la permission. La chance, au fait, pour son examen – votre père malveillant a utilisé le défi comme une formation à cet examen, démontrant ainsi la dureté de son cœur -.
Le gras de l’accent est mis à moi parce que cette phrase est celle cela devrait faire « sur l’ampoule » chez ceux qui sont presque arrivés à cet égard:
Dans la deuxième partie, nous avons un corps qui reçoit deux forces parallèles à la surface de l’avion. La première force correspond à la gravité qui agit dans la descente. Ceci est égal à: M · A · SEN30 ° = 5m.La deuxième force correspond au frottement qui agit dans la direction contraire du mouvement (V (t)), qui forme un angle θ (t) avec la pente. Vale TG30º · N · COS30º = 10m · Sen30º, qui est égal à 5m.
La force « La descente » (FCA) est égale à la force de la vitesse (FV), pour laquelle l’accélération du corps peut être divisé en deux accélérations de valeur égale. Un dans la même direction de l’ACC, et un autre dans la direction contraire à v.
la vitesse VCA (t) après un intervalle ΔT sera le même pour ACC (T ) + AΔt et VC (t) sera égal à v (t + Δt) = v (t) -aΔt. Ces deux accélérations sont identiques, donc AΔT = VAC (t + Δt) -VCA (t) = V (T) -v (t + Δt). De là, nous atteignons v (t) + VAC (T) = V (t + Δt) + VCA (t + Δt), ce qui signifie que la somme de V et VAC est constante .
comme dans l’instant initial V (0) = V0, et VAC (0) = 0 aussi, nous avons V + VACA = V0.
Nous savons par la trigonométrie qui vcosθθ . De là, nous venons à vttosθ = v (1 + cosθ) = v0, et donc v = v0 / (1 + cosθ).
Nous voulons savoir quelle valeur l’angle θ a tendance. Pour cela Prendre comme une origine d’origine un point qui se déplace en descente à la hauteur de la Cu Erpo Le corps passe à travers cet axe X avec une vitesse initiale (V0), et elle s’arrête dans son mouvement, car il y a des frictions. Comme il n’y a rien qui augmente sa vitesse et va freinage, la vitesse a tendance à 0. Après une période suffisamment longue, la vitesse de l’axe X ne sera pas appréciable par rapport à la vitesse de descente, donc l’angle qui formera la vitesse totale avec la descente L’adresse aura tendance à 0.
Par conséquent, après une très longue période, la vitesse sera v = V0 / (1 + COS0) = V0 / 2.
Vous pouvez lire l’explication complète, qui inclut la réponse à la première question, ici.
J’espère que vous vous amuserez comme Bellacos qui se bat à ce défi et que vous vous souvenez que le La chose importante n’est pas d’atteindre la solution correcte mais de donner aux cellules grises. Félicitations aux finalistes et aux gagnants, et jusqu’au prochain défi!