La séquence Fibonacci et le numéro d’or dans l’ingénierie électrique et l’analyse numérique

formation universitaire – vol. 6 (2), 23-32 (2013)

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La séquence Fibonacci et le nombre d’or dans l’ingénierie électrique et l’analyse numérique

la séquence Fibonacci et la section dorée dans l’ingénierie électrique et l’analyse numérique

Carlos Figueroa (1), Lamberto Castro (2), Jesús R. Fox (2), Manuel Lozano (2)

(1) Université de Sonora, Division de l’ingénierie, Département de génie industriel, unité régionale AV Centre. Rosales et L. Encinas, Col. Center. Cp. 83500. Hermosillo, Sonora, Mexique. (E-mail: [email protected])

(2) Université de Sonora, Division des sciences et de l’ingénierie, Département de physique, mathématiques et ingénierie, unité régionale du Sud. Lázaro Cárdenas No. 100. C.P. 85880, Navojoa, Sonora, Mexique

Résumé

Cet article vise à développer des solutions alternatives à deux problèmes différents contenant le rapport Aurea: 1) dans un circuit électrique avec des résistances ohmiques infinies qu’il a une solution inductive de la séquence Fibonacci et le résultat est également corroborée à l’aide de fractions continues; et 2) dans la formulation newtonienne pour la conception d’un cône tronqué de résistance aérodynamique minimale, une solution numérique est proposée pour tester la bonté du modèle. Les deux exercices ont une puissance didactique chez des sujets tels que l’ingénierie électrique, la mécanique de vecteur, l’analyse numérique et l’algèbre supérieure. Le travail représente une aide dans l’étude des problèmes liés à la réalisation des compétences mathématiques.

Mots-clés: Aurea Raison, Série Fibonacci, escalier semi-infini, résistance aérodynamique.

Abstrait

Cet article prétend développer de nombreuses solutions à deux problèmes différents contenant la section dorée: 1) dans un circuit électrique Infinite Résistance ohmique Ce papier fournit une solution inductive par la séquence Fibonacci et les résultats sont corroborés en utilisant des fractions de suite; et 2) dans la conception d’un frustune d’un cône avec une résistance aérodynamique minimale à une solution numérique est proposée pour vérifier la bonté du modèle. Les deux exercices ont une puissance didactique sur des sujets tels que l’ingénierie électrique, la mécanique des vecteurs, l’analyse numérique et l’algèbre avancée. Ce document représente une contribution à l’étude des sujets associés à l’amélioration des compétences mathématiques.

Mots-clés: Section dorée, séquence Fibonacci, échelle semi-infinie, résistance aérodynamique.

Introduction

Introduction >

existe dans la science contemporaine un flux de recherche sur la séquence de Fibonacci et la raison d’Aurea. Ses principales manifestations sont le forum: Conférence internationale sur les numéros de Fibonacci et le magazine The Fibonacci Quaterly; En outre, il est disponible dans la littérature spécialisée d’un ensemble de travaux, où de nombreux exploits scientifiques ont produit de grands exploits scientifiques de la physique et des mathématiques -Examples, c’est la relation avec la dimension fractale de Mandelbrot ou la fraction continue du Ramanujan. Stakhov (2005), mentionne spécifiquement son utilisation dans la science et l’ingénierie.

Stakhov, établit et justifie une nouvelle approche qui appelle des mathématiques harmoniques, comprend la théorie des nombres, la théorie des fonctions hyperboliques basées sur les numéros de Fibonacci, ainsi que des matrices d’AUREAL; Mais le plus intéressant, il souligne que cette nouvelle théorie est la source de créativité en botanique, biologie, informatique, ingénierie des systèmes en communication, éducation en mathématiques et théorie physique des hautes énergies. Mais quelles que soient les considérations de Stakhov, il y a eu abondamment des résultats historiques tels que la géométrie des objets d’anura, des quaternions, des nombres complexes et bien sûr, la dimension fractale. Des objets comme les poupées matriuskan, qui correspondent à une autre, illustrent les fractales; Mathematicien Benito Mandelbrot a inventé le mandat de 1975, qui constitue un concept de capital en géométrie et dans des systèmes extrêmement irréguliers appelés chaos. Les fractales représentent une tentative extraordinaire de décrire les formes du monde réel, Livio (2006). Ce qui suit décrit sa relation avec le numéro d’or représenté habituellement comme Ø =

Le rapport entre le nombre de sous-objets N, le facteur de réduction ƒ et les dimensions d est

Walser Hans (2001) présente la relation entre la nature et les fractales; En outre, à la construction d’un arbre convenu, il détermine sa dimension entraînant 1 4404, c’est-à-dire que ce n’est pas un nombre entier, mais un nombre irrationnel.Pour l’arbre Aureum La condition est satisfaite 2 = Ød, il est facile de voir que

En plus Walser à travers une géométrie Aurea illustre rectangles, d’ autres polygones, des ellipses, des polyèdres et des relations trigonométriques générées là.

quaternions sont les chiffres hypercomplexes que moyen laissant le plan complexe et la construction de l’ espace 3D Complexe, un fait qui génère de nouveaux algèbres tels que Clifford. Serpil Halici, (2012), souligne l’existence de quaternions Fibonacci. C’est, il y a des relations de la variable complexe avec la séquence de Fibonacci.

Certains mathématiciens considérer une famille de nombres avec des propriétés communes, par exemple, présentent des similitudes pour démontrer mathématiquement leur irrationalité, en utilisant le calcul infinitésimal, Huylebrouck (2001 ); Ce sont les soi-disant nombres métalliques ou poèmes, ce qui signifie que PTH commande une moyenne extrême. Distinguée irrationnelle de cet ensemble sont le nombre d’Euler E, Zeta de Riemann et π. Des chiffres en métal, l’argent « div id = » 49E0D007FD « > et l’ID Bronze

, lève-toi d’une façon de généraliser la suite de Fibonacci. Comme irrationnel, ils peuvent être représentés dans des fractions infinies continues; Au début du XXe siècle, Srinivasa Ramanujan trouvé une expression qui comprend Ø, EY π telle que

autre par contre, dans le monde de la physique La relation avec certains phénomènes est abondante. Par exemple, dans l’ étude des processus de désintégration, qui vont des systèmes d’équilibre à la non-équilibre, comme le cas de diminution des populations, la désintégration des roches, ou dévaluations monétaires, sont formulés avec un mécanisme appelé diminumions cumulatif, Comme Buyukkhc et Dimirhan ( 2008) point; Ils dans leur travail utilisent les soi-disant ensembles de chants, qui conduisent à une dimension fractale. Ladite méthode, il constitue une théorie qui a prouvé son utilité en physique à haute énergie.

en cosmologie et en astronomie, le nombre d’or est mentionné dans la structure de l’univers, la magnitude du système solaire et la Saturne anneaux, Bennett (1999) est également signalé dans la relation des radios de la Terre et le Soleil entre autres. Dans la mécanique quantique, il est présenté dans le ratio de fréquences d’une paire d’oscillateurs harmoniques, comme indiqué par Bleher (1990). Également en physique de l’état solide et de la cristallographie, des matériaux ont été trouvés tels que le manganèse en aluminium, avec une structure moléculaire ambiguë, qui ne sont pas amorphes ou périodiques, sont appelées quasi-cristaux; Celles-ci ont leur explication physique dans un modèle mathématique basé sur une configuration Aurea, telle que les mosaïques de Penrose, Livio (2006). D’autre part, sa présence a également été vérifiée au facteur Landé du magnétisme. Ci – dessous, a expliqué le cas des structures cachées appelées groupe E8.

Dans le magnétisme , il y a des œuvres comme celle de Affleck (2010) et hors ligne (2010) des rapports de la raison d’ or dans les matériaux magnétiques composites, puisque dans une collection des particules d’états liés la masse est réduite. Le calcul des états relativistiques comprend des rotations proches de la vitesse de la lumière donnée en termes de e = mc2 .dado qui mérite une analyse relativiste, déterminant que le ratio massif est un problème majeur. Une alternative est par des méthodes de théorie quantique des champs. Dans les systèmes à faible dimension, il existe des solutions exactes. Auto Reports Résultats d’une expérience avec le matériel cobalt de Niobate C0NB2O6 où il y a une raison de masse en termes de numéro d’or. Celles-ci sont liées aux structures appelées E8 (cachées), l’une des plus exceptionnelles et intéressantes des groupes dites de Lie. L’expérience décroît a démontré le ratio masse de deux nœudités à faible consommation de cobalt de cobalt, qui s’approche du rapport Aurea. L’expérience a corroboré les résultats du calcul basé sur Quantum de champs et en considérant un système d’une dimension, une solution exacte a été déterminée.

Cependant, il existe des auteurs tels que Falbo (2005) et Markowsky (1992), ils ils ont un autre point de vue parce qu’ils doutent des qualités disproportionnées attribuées au nombre d’or. Il existe ici des déclarations telles que Markowsky qui dit: « Les propriétés mathématiques généralement sont correctement déclarées, mais souvent celles présentées dans l’architecture, la littérature et l’esthétique sont fausses ou trompeuses. » Il dit qu’il a forgé plusieurs mythes qui sont répétés à plusieurs reprises et soulignent des erreurs dans l’histoire du nombre d’or, ainsi que de certaines patrimonies architecturales et artistiques telles que la grande pyramide d’Égypte, le Parthénon de la Grèce, ou le bâtiment de l’ ONU à New York, des peintures de Léonard de Vinci, ne présentent des dimensions ourease. De même, Falbo fait référence à une espèce de « culte » au nombre d’or.Il démontre également comme dans certains cas, l’affirmation selon laquelle la proportion d’or a une place spéciale entre les chiffres, bien que la description valable de la nature n’est pas compatible. En outre, il réfute l’idée qu’il est fréquemment présenté dans l’art et l’architecture. Par exemple, lors de la prise d’action, il trouve qu’il n’ya aucune base pour dire que le nombre d’or est naturellement reproduit dans les coquillages. En particulier, il n’ya aucune base pour affirmer qu’elle est présentée dans le nautilien. Il discute également de son désaccord avec Mario Livio que la raison d’Aurea est « le nombre le plus étonnant du monde ».

Cependant, le sujet peut être plausible s’il est fait référence au travail de Stakhov, où le droit La chose est de penser à la série Fibonacci en tant que principe général qui peut être ouvert à des applications technologiques spécifiques et spécifiques. Notre travail traite deux problèmes qui peuvent aider à l’enseignement des mathématiques et de la physique, ainsi que des effets technologiques. On sait qu’un escalier semi-infini de résistances en série et en parallèle, a une application en métrologie numérique; Et en ce qui concerne les études de résistance aérodynamique, elles sont réalisées dans l’industrie automobile et aérospatiale.

Premièrement, un exercice de texte de physique populaire a été analysé, le problème des circuits électriques de type escalier, ou aussi le semi-escalier Résistance infinie. Cette affaire est traitée à l’infini de livres tels que M. Alonso et E. Finn (1967) et celui des problèmes de physique des Jeux olympiques (2007). Également dans la littérature spécialisée, Wörner (1999) fonctionne dont le travail utilise des fractions continues, en plus de déterminer élégamment les tensions de tout le circuit. De même, Sanjinés (2010) présente des solutions utilisant la représentation matricielle de la fréquence Fibonacci et le calcul des valeurs propres. Les deux emplois sont de nouvelles formes pour résoudre le même problème. Ici, notre tâche pour le circuit avec des séries infinies et des résistances parallèles ajoute une analyse inductive basée sur la série Fibonacci, vous pouvez également comparer cette solution avec les fractions continues utilisées par Wörner.

tout de suite, en fonction des travaux de cruz et.al. (2010), où le puissant cône tronqué de la résistance aérodynamique minimale est déterminé en appliquant une solution algébrique, ses principaux résultats nécessitant des analyses préalables sont présentés, car les travaux de ce groupe de recherche contiennent un ensemble de manifestations pouvant enrichir des leçons de la mécanique de vecteur et algèbre supérieure; Notre contribution tente de compléter ces analyses avec un traitement numérique à l’aide de MATLAB. L’analyse est générée pour un cône de dimension particulier, sur la base des résultats calculés par ce groupe, dans le but de faciliter les calculs à travers l’utilisation du matlab.

Nelly Amethyste León Gómez (2006), fait référence à L’étude des sujets tels que la cryptographie ou la théorie des chiffres, qui peut donner aux élèves la possibilité d’aborder les mathématiques de manière légère, pour motiver la recherche de connaissances. Les problèmes ici traités et discutés peuvent être exprimés de manière didactique et atteindre cet objectif.

Développements mathématiques

Aurea Asquence et séquence Fibonacci

Walser est l’une des Les auteurs qui démontrent le mieux les concepts. Si le plus petit rapport de segment est défini entre une plus grande d’une équation de deuxième année

avec des racines telles que

La longueur doit être positive donc x1 est choisie. Walser utilise la réciprocité de cela comme la raison d’or. De l’équation quadratique et des deux racines, de nombreuses propriétés pouvant être utilisées sont observées pour dériver d’autres résultats. Par exemple, si

vous devez

Le dernier peut être généralisé à

L’application de la linéarisation des pouvoirs est obtenue dans le Coefficients de la linéarisation des nombres Fibonacci, tels que

qui satisfait au rapport de récurrence

si les valeurs initiales telles que A0 = 1 A1 = 1 sont définies 1,1,2,3, 5,8,13,21, 34.55 .. . Cela peut être généralisé de plusieurs manières.

Enfin du rapport successif des numéros de Fibonacci, la valeur limite peut être obtenue,

circuit électrique de résistances infinies en série et en parallèle.

sur la figure 1, un circuit est décrit avec une quantité infinie de résistances de valeur égale A. Il peut être prouvé que le Circuit équivalent est sous la forme REQ = ØR.

fig.1. Circuit électrique de résistances infinies.

Pour une première démonstration inductive, elle repose sur un circuit de seulement 3 mailles, un tel circuit est réglé sur la figure 2a.

fig. 2a.circle avec 3 mailles.

Fig. 2b. La dernière maille comporte deux résistances en série qui sont en parallèle avec son voisin.

Dans la figure 2B, la formule de la résistance équivalente est appliquée à des circuits parallèles, de telle manière que

D’autre part, le circuit obtenu est représenté sur la figure 3A:

Fig. 3a. Le même processus est observé: deux résistances en série (R + R) 2/3, qui sont parallèles à la adjacent

<. p> Fig. 3b. Nouvelle configuration résultante.

Figure 3B vous permet de déterminer une résistance équivalente de la forme

processus Pour résoudre le problème de trois mailles, vous durez les configurations suivantes.

Fig.4. Résistance équivalente à trois mailles.

Application de la solution à celle – ci est atteinte

dans un circuit de quatre mailles de la solution est REQ = 21/13 R. la présence de la série de Fibonacci est identifié Wörner fait une démonstration sur la base de fractions continues, en utilisant le fait que tout nombre irrationnel peut être représenté comme une fraction infinie continue, de telle sorte que la nombre d’or est écrit

Pour le cas du circuit de la figure 3B peut être exprimée sous la forme

et , enfin , pour le circuit de la figure 4,

Une démonstration plus formelle est faite dans le livre des problèmes olympiques, il il est proposé de séparer le circuit en deux sections comme le montre la figure 5.

Fig. 5. Une autre forme abrégée pour configurer le circuit de résistances infinies.

La partie droite de la figure 5 reste un infini de collecte de résistance et est donc égal à la figure 1. Cette situation peut être représentée par la figure 6. Par conséquent, il peut être considéré comme suit:

fig. 6. Circuit contenant dans la résistance équivalente Tous les autres.

Une nouvelle variable telle que RE = R + Req est définie. Considérant le côté droit de cette équation que la cherchèrent résistance équivalente, alors il a

que lors de la résolution ce dernier est atteint REQ = Ø R. la tâche de recherche des tensions et des courants dans chaque élément de circuit est absent.

Résistance qui offre le mouvement d’ un cône tronqué.

le problème aérodynamique Newton pour les cônes tronqués, Comme celui du côté gauche de la figure 7, la solution a une agréable surprise et qu’elle peut être démontrée, selon Cruz et al. (2010), que le cône de résistance minimale est celui qui est construit avec des proportions d’AUREAL. Dans ce travail, il existe une fonction pour représenter la résistance aérodynamique telle qu’elle est décrite de manière générale.

On suppose que le cône reste immobile et que les particules descendent avec une vitesse constante ν. Tout d’abord, le cas d’une hauteur de cylindre de radio RY H est analysée, côté droit Figure 7, les moments linéaires avant et après le choc sera p1 = mv et p2 = mv.

fig. 7. Cône tronqué et cylindre, ce dernier est plus facile et facilement rapide.

avec v = v. Seules les particules qui sont à une distance de moins que VΔT de la base supérieure du cylindre peuvent entrer en collision avec elle dans le temps ΔT. Soit ρ est la densité du support et V est le volume du cylindre radio R-radio et de la hauteur VΔT. Les auteurs définissent RCIL que la résistance du cylindre et démontrent clairement qu’il est donné par RCIL = 2πρv2r2.

dans le cas d’un tronc de cône de hauteur H avec la radio radio radio inférieure de base X, la collision peut se produire à la base supérieure et sur le côté. Côté droit de la figure 8.

Sea RS Résistance sur base supérieure et la résistance RC sur le côté, puis la résistance totale r x sera la somme des deux r x = r + de rc.

Fig. 8. Le résultat du cylindre est utile pour résoudre le cône tronqué.

quand x = r a à rc = 0 donc rr = rr = rr = rr = De plus, en utilisant le résultat pour un cylindre, il est calculé dans ce travail, que la résistance de la surface est RS = 2πρv2x2.

Pour obtenir la résistance du côté RC, on peut observer comment les particules qui se collisent contre le côté du cône dans un temps ΔT sont celles qui sont dans un « cylindre » creux, comme celui sur Le côté gauche de la figure 8, dont le volume est identique à celui du cylindre creux de hauteur VΔT, du rayon extérieur RY Radio Intérieur X. Sous Contimations similaires à celles du premier cas, ajout d’une analyse de l’algèbre et de la trigonométrie de base, une telle fonction que RC = 2πρ R2-x2 v2cos2a.

Lorsque l’ajout de RS et RC est obtenu R x = 2πρv2x2 + r2 – x2 COS2A.

Utilisation du rapport du cosinus de la figure 8,

aussi si k est aussi défini 2πρv2 a ensuite la fonction de résistance aérodynamique,

pour rechercher le cône tronqué de la résistance minimale que vous devez trouver la Valeur minimale de R (x) dans la plage 0 < X < r. Cela équivaut à trouver le minimum de la CE. (21). Pour modifier un peu, la fonction est ajoutée et soustraite H2 sur le numérateur est alors,

et donc minimiser f (x ) pour 0 < x < r est égal à optimiser

Notre contribution peut maintenant être soulevée, il s’agit de générer un cône particulier et de la possibilité de faciliter le calcul; Par conséquent, une solution est proposée avec la méthode graphique. De l’équation, il y a un cas de tel que H = R = 1, lors du remplacement de la CE. (23), la fonction à dérivé est

premier, votre graphique est généré dans 0 < x