Bauck était la fille du musicien, critique de musique et compositeur allemand Carl Wilhelm Bauck (1808-1877) et suédois Dorothea Fredrique (1806-1834). Il avait une autre soeur, Hanna Lucia et deux frères plus âgés, Emanuel et Johannes. Il a grandi à Stockholm, où il a étudié avec une autre jeune femme qui est devenue un ami très proche, le peintre des portraits danois Bertha Wegmann. Il est resté en Suède jusqu’en 1863, lorsqu’il a déménagé en Allemagne pour étudier la peinture.
Son éducation artistique a commencé avec Adolf Ehrhardt à Dresde, a continué avec Albert Flamm à Düsseldorf, puis avec Joseph Brandt à Munich. La majeure partie de leur formation paysagiste a également eu lieu à Munich, sous la tutelle du peintre formée à la Johann Diedrich Christian Langko Academy, spécialement inspiré au cours de sa carrière par l’école de peinture de Barbizon. La plupart des peintures qui ont produit au cours de sa carrière sont classées dans le style de Barbizon.
Bauck a commencé sa carrière peignant presque exclusivement des paysages et pour cette raison, il a obtenu un succès modéré. En dépit de cela, plus tard, il s’est ouvert à des portraits et à la fin des années 1890, il a produit à la fois des parties égales. Au cours de sa carrière, il a gagné des prix dans des expositions en Allemagne et à l’étranger, et son Ttrabajo était représenté à plusieurs reprises dans des galeries de Stockholm et de Trieste.
En 1880, Bauck a déménagé à Paris et a partagé une étude avec Son amie Bertha Wegmann. Pendant ce temps, Bauck a peint un portrait de Wegmann intitulé Artiste danois Bertha Wegmann peignant un portrait et Wegmann peint, entre environ vingt portraits, son célèbre portrait de Bauck, Målarinnan Jeanna Bauck. Également pendant son séjour à Paris, Bauck et Wegmann, montraient son travail dans les salons de Paris de 1881 et 1882.
Bauck a montré son travail à la foire du monde de Chicago de 1893 et son lac de forêt et son Le portrait d’un homme a été inclus dans le livre des peintres mondiaux de 1905.
En 1897, Bauck a vécu à Berlin et a enseigné à temps à temps les classes nocturnes de peinture à l’Association des arts de Berlin. C’est là qu’il a rencontré et devenu plus tard amis avec un étudiant de 21 ans, Paula Mersesohn-Becker, qui a ensuite décrit Bauck comme son professeur préféré. Becker deviendrait un peintre très influent d’expressionnisme précoce.