Una famiglia di problemi di investimento intrinsecamente più difficili sono indicati congiuntamente come investimento non lineare.
I problemi non lineari hanno una relazione più complessa tra i dati e il Modello, rappresentato dall’equazione:
d = g (m) {\ displaystyle \ d = g (m)}
qui g {\ displaystyle g}
è un operatore non lineare ed è Non può essere separato per rappresentare una corrispondenza lineare dei parametri del modello che formano m {\ displaystyle m}
nei dati. In questo tipo di problema, la prima cosa da fare è capire la struttura del problema e dare una risposta teorica ai temi di Hadamard (in modo tale che il problema sia “risolto dal punto di vista teorico”). Una volta terminato, è seguito con lo studio della regolarizzazione e delle interpretazioni dell’evoluzione delle soluzioni con nuove misure (probabilistiche o altro). Quindi, le sezioni corrispondenti non si riferiscono davvero a questi problemi.
Mentre i problemi di investimento lineare sono stati completamente risolti dal punto di vista teorico alla fine del XIX secolo, solo un tipo di problemi non lineari era prima del 1970: il problema spettrale inverso e la dispersione inversa (in uno spazio di Una dimensione), dopo il lavoro fondamentale della scuola matematica russa (Kerin, Gelfando, Levitan, Marchenko). Chadan e Sabatier danno un ampio studio dei risultati nel suo libro “Problemi inversi della teoria dei tempi quantici” (con due edizioni in inglese e una in russo). In questo tipo di problemi, i dati sono le proprietà dello spettro di un operatore lineare che descrive la dispersione. Lo spettro è formato da auto-valori e autofunzioni, formando lo “spettro discreto”, (…..) lo spettro continuo. Il (….) è che gli esperimenti sulla dispersione forniscono informazioni solo dallo spettro continuo, e la conoscenza del suo spettro completo è necessaria (e sufficiente) per recuperare l’operatore di dispersione. Pertanto, abbiamo parametri invisibili, molto più interessanti dello spazio nullo che ha una proprietà simile nei problemi lineari inversi! Inoltre, ci sono movimenti fisici in cui lo spettro di tale operatore è preservato con movimento. Questi movimenti sono regolati da speciali equazioni differenziali parziali, ad esempio “Korteveg -de Vries”. Se lo spettro di un operatore è ridotto a un singolo auto-valore, il movimento corrispondente è quello di un singolo colpo che è diffuso con velocità costante senza deformazione, un’onda solitaria chiamata “Soliton”. È chiaro che un segno così perfetto e le sue generalizzazioni per l’equazione Kortorweg-de Vries, o altre equazioni differenziali parziali non lineari integrabili sono di grande interesse, con molte possibilità di applicazione, e sono attualmente studiate come un ramo della fisica matematica da 1970.
I problemi di investimento non lineare sono anche studiati in molti campi di scienze applicate (acustiche, meccaniche meccaniche, meccaniche quantiche, dispersione elettromagnetica, onde radar, sismiche, in tutti i tipi di elaborazione delle immagini, ecc.).