Perché lo stimatore di James-Stein chiama uno stimatore “contrazione”?

Un’immagine vale la pena di mille parole, quindi lasciami condividere con te. Di seguito puoi vedere un’illustrazione che viene da Bradley Efron (1977) Paper Stein Paradox in statistiche. Come puoi vedere, quale stimatore Stein è spostare ciascuno dei valori più vicini alla media della grande. Ciò rende valori superiori alla grande media dei più piccoli e i valori più piccoli della grande media, maggiore. Contrazioni ci riferiamo al movimento dei valori verso la media, o a zero in alcuni casi, come la regolarizzazione della regressione – che riducono i parametri a zero.
Illustrazione dello stimatore Stein da EFRON (1977)

Certo, non è solo la riduzione di se stessa, ma lo Stein (1956) e James e Stein (1961) hanno dimostrato, è che lo stimatore Stein domina il massimo stimatore del ricercatore in Termini del totale dei quadrati di errore,
$$ E_ \ MU (\ | \ boldsymbol {\ hat \ mu} ^ {js} – \ boldsymbol {\ mu} \ | ^ 2) < E_ \ MU (\ | \ boldsymbol {\ hat \ mu} ^ {mle} – \ boldsymbol {\ mu} \ | ^ 2) $$
dove $ $ \ boldsymbol {\ mu} = ( \ MU_1, \ MU_2, \ Dots, \ MU_P) ‘$, $ \ hat \ mu ^ {js} _i $ è lo stein e $ \ cappello \ mu ^ {mle _ _i = x_i $, dove entrambi gli stimatori stimano $ X_1, X_2, \ Dots, X_P $ dal campione. I test a cui sono indicati nei ruoli originali e viene referenziale l’appendice del documento. Nella pianura inglese, ciò che hanno dimostrato è che sì, simultaneamente, $ P > 2 $ Conjectures, quindi in termini di quadrati di errore totale, dovrei farlo meglio dal Riduzione di loro, davanti ad attaccare alla sua congettura iniziale.
Infine, lo stimatore Stein non è certamente l’unico stimatore che dà l’effetto della contrazione. Per altri esempi, può essere verificato che questa entrata del blog o a cui i dati bayesiani siano segnalati l’analisi del Gelman et al libro. Puoi anche controllare le discussioni sulla regressione della regolarizzazione, ad esempio, qual è il problema di fare la contrazione dei metodi di risoluzione?, O quando l’uso dei metodi di regolarizzazione per la regressione?, Per altre applicazioni pratiche di questo effetto.

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