Paesaggi matematici

È molto probabile che il teorema pitagorico sia il risultato più importante della vecchia matematica classica. Una rapida ricerca nei paesaggi matematici conduce a diversi articoli in cui è trattato da angoli diversi. In particolare, alcune delle loro manifestazioni classiche sono discusse qui, qui, qui, qui, qui, qui e qui.

La torta di Il logo di questo articolo rappresenta un altro dei test più famosi (clicca sull’immagine a sinistra per attivare il video corrispondente). Tra tutti, questo è quello che mi piace di più, non solo per la sua semplicità ma anche per le ragioni “sentimentali”. Poiché di solito accade, il mio insegnante del Liceo non ha mai spiegato la ragione del teorema, ma lo ridotto solo a una formula algebrica utile (?) Per calcolare la lunghezza di un lato di un triangolo rettangolo da quelli degli altri due (e quindi sentirsi felici Per risolvere correttamente un esercizio di routine in qualche esame …) Questa dimostrazione è apparsa in un libro di storia di matematica che per fortuna è arrivata nelle mie mani e ha suscitato la mia passione per la geometria.

fine, credo che tutti quelli che sono Appassionato della matematica può relazionarci una storia simile e, passando, per confermare questa diagnosi sull’insegnamento a scuola. Qualcosa di questo è menzionato in questo articolo, così come nella sua risposta, per quanto riguarda specificamente la geometria. Il mio obiettivo qui non è quello di entrare in questa discussione (di cui è già stato detto molto su questo sito, anche se si potrebbe dire molto di più), ma si riferisce specificamente a una dimostrazione molto non convenzionale del teorema. Per motivarlo, una domanda a ” ingenuo ”:

Quanti spettacoli del teorema del Pythagorean esistono?

la risposta (intenzionalmente elusiva) è: molti più di quelli di solito loro insegnato. Una straordinaria compilazione appare nel libro La proposta Pythagorean, il lavoro (in inglese) di Elisha Loomis risalente al 1927 e non contiene nulla di meno di 256 diverse dimostrazioni (alcuni un po ‘”discutibili” perché richiedono una conoscenza troppo avanzata, come ad esempio il Ultimo, che ha bisogno di geometria iperbolica). Tra questi, ci sono alcuni che sono spesso attribuiti ai personaggi di Connotados da ” ‘volte’ ‘, come Leonardo da Vinci, Benjamin Franklin e Albert Einstein (sebbene queste attribuzioni siano anche interrogate dagli studiosi della questione).

Un compendio più interattivo (anche in inglese) è questo blog, che ha già più di 120 manifestazioni diverse. Test numero 117 di questo sito – dalla mia paternità del mio 2016 e, dopo aver esaminato un sacco di bibliografia sull’argomento, posso affermare senza paura che sia totalmente originale.

L’idea dell’argomento è nato Alla ricerca di informazioni sul teorema su Internet per preparare una chat per gli studenti di Liceo. Su una pagina (che, sfortunatamente, non sono stato in grado di trasferirmi) ho trovato immagini di questo tipo.

Se Ricordo bene, questi sono stati accompagnati da una domanda naturale:

è la somma delle aree delle figure sulle tende uguali all’area della figura sull’ipotenusa?

È possibile che la risposta non sia così evidente per uno studente di Liceo; Anche, può – per precauzione – un matematico professionista ha bisogno di alcuni lunghi secondi prima di rispondere. E siamo così abituati a “memorizzare” “e ” ripetere ” il teorema come risultato valido per” quadrato “(costruito sui lati) che muoversi dette figure (triangoli, pentagoni, ecc.) Puoi innescare un blocco intellettuale. Tuttavia, un momento di riflessione ci dice che l’area di dette cifre è proporzionale a quella dei quadrati, con una costante proporzionalità che dipende solo dalla “forma” della figura. Detto costante non è altro che il valore dell’area di questa figura quando viene portato a una dimensione tale da basarsi su un segmento di lunghezza 1, coprendo esattamente il suo lungo. In effetti, la figura non è necessariamente poligonale: può avere curve, sagome, ecc. Può anche essere quello di un ippopotamo!

reciprocamente, dovrebbe essere Evidente che per qualsiasi altra figura sui lati del rettangolo del triangolo (ippopotami, semicirchi, pentagoni regolari, triangoli equilaterali, ecc.), L’uguaglianza tra l’area di cui viene eretta sull’ipotenusa con la somma delle aree di quelle Sulle catechs implica la validità del teorema convenzionale del pithagorer (per i quadrati).Infatti, è sufficiente moltiplicare ciascun membro che questa uguaglianza dalla costante appropriata per tornare alle aree dei rispettivi quadrati.

Puoi darti un test ” diretto ” per una qualsiasi di queste uguaglianza, quella di queste uguaglianza È, una discussione che non accade a causa del fatto che conosciamo già il teorema classico? Se è figure di contorno arbitrarie, questo sembra molto improbabile. Tuttavia,
In questo video e in questo (sia in inglese) troverai discussioni simpatiche su questa dimostrazione (che è spesso attribuita a Einstein …) che si basa su un’idea di questo tipo. In questo caso, le figure considerate su ciascun lato sono copie del triangolo originale!

Se abbiamo trattenuto il caso di poligoni regolari eretti sui lati del nostro triangolo originale (come è illustrato sopra), lo è illustrato sopra), lo è illustrato sopra), lo è illustrato sopra possibile fornire argomenti diretti di test. Sotto lo presenterò uno per il caso di triangoli equilaterali che va nello spirito delle manifestazioni più classiche del teorema. Come siamo nel 21 ° secolo, invece di trascriverelo, la lascio sotto forma di un video. Se necessario, i dettagli vengono visualizzati nel testo semi-indipendente qui.

Ed è come, a metà del 21 ° secolo, puoi comunque contribuire nuovamente alla matematica dell’antica Grecia: un nuovo test di un teorema di antichità di 2500 anni! (E forse molti altri).

rinfrescante, giusto?

Problema 1: Ciò che è esposto in questo articolo può essere integrato con il teorema equidopping di Wallace-Gerwien-Bolyai, sviluppato magnificamente in Questo articolo. Durante la lettura, imparerai che se simili figure poligonali vengono erette sui lati di un triangolo rettangolare, allora quelli che sono sulle catech possono essere tagliati in pezzi poligonali che, rensmblined, coprono esattamente la figura dell’ipotenusa. Implementa questo per figure che sono pentagoni regolari, rettangoli ure, triangoli equilaterali, ecc.

Problema 2: Se in un triangolo rettangolo i semicerchi vengono disegnati con diametro l’ipotenusa e i catena, il primo in e i due secondi verso l’esterno, quindi le regioni incluse tra loro sono chiamate Ippocrates Lúbla. Una proprietà fondamentale (che verificherai rapidamente l’utilizzo del teorema del Pythagorean) è che la somma delle sue aree è uguale a quella del triangolo originale.
Domanda: quando sono figure simili le due Lunnule?