La matrice giacobica è una matrice formata dal primo ordine derivati parziali di una funzione. Una delle applicazioni più interessanti di questa matrice è la possibilità di approssimare linearmente alla funzione in un punto. In questo senso, il Jacobian rappresenta il derivato di una funzione multivariata.
Dovremmo parlare più della matrice giacobica, differenziale jacobian o applicazione lineare jacobian poiché la forma della matrice dipenderà dalla base o dalle coordinate scelte Cioè, data due basi diverse, l’applicazione lineare giacobica avrà componenti diversi anche nel caso dello stesso oggetto matematico. La proprietà di base della “matrice” giacobica è la seguente, data un’applicazione f: r n → r m {\ displaystyle \ mathbf {f}: \ mathbb {r} {r} \ a \ mathbbs {r} ^ {m} }
continuo , cioè f ∈ c (k) (rn, rm) {\ displaystyle \ mathbf {f} {{\ mathcal {c}} ^ {(k)} (\ mathbb {r} ^ {n}, \ mathbbs {r } m)}
Verrà detto che è differenziabile se è presente un’applicazione lineare λ ∈ l (rn, rm) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} \ in {{\ \ lambda}} (\ mathbb {r} uno, \ mathbb {r} m)}
tale che:
(1) LIM ‖ x – e ‖ → 0 ‖ (f (x) – f (y)) – λ (x-y) ‖ ‖ x – e ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim \ \ mathbf {e} \ | \ to 0} {\ frac {\ | (\ mathbf {F} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {f} (\ mathbf {and})) – {\ boldsymbol {\ Lambda}} (\ mathbf {x} – \ mathbf {e}) \ |} {\ | \ mathbf {x } – \ mathbf {e} \ |}} = 0}
funzione scalate
Iniziamo con il caso più semplice di una funzione scalare F: RN → R {\ DisplayStyle \ ScriptStyle F: \ mathbb {r} n \ to {r}}
. In questo caso, la matrice giacobica sarà una matrice formata da un vettore di fila che coincide con il gradiente. Se la funzione supporta derivati parziali per ciascuna variabile può essere visto che è sufficiente definire la “matrice” giacobica come:
λ (x): = ∇ f (x ) = {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Lambda}} (\ mathbf {x): = {\ boldsymbol {{x}) = {\ begin {bmatrix} {\ cfrac {\ partial f (\ mathbf {x}) } {\ Parziale x 1}} & \ ldots & {\ cfrac {\ partial f (\ mathbf {x})} { \ Parziale xn}} \ end {bmatrix}}}
Da allora il rapporto (1) lo farà Essere soddisfatto, quindi in questo caso la “matrice giacobica” è precisamente il gradiente.
Vector funzionale
Supponiamo f: rn → rm {\ displaystyle \ mathbf {f}: \ mathbb {f}: \ mathbb {R} ^ {} \ to \ mathbb {r} m}
è una funzione che va dallo spazio euclideo n-dimensionale a un altro spazio euclideo m-dimensionale.Questa funzione è determinata da M reali funzioni scalari:
yi = fi (x 1, …, xn), y = f (x) = (f 1 ( x), …, f m (x)) {\ displaystyle y_ {i} = f_ {i) (x 1, \ ldots, xn), \ Qquad \ mathbf {e} = \ mathbf {f} (\ Mathbf {x}) = (f 1 (\ mathbf {x), \ dots, fm {m} (\ mathbf {x}))}
Quando la funzione sopra è differenziale , quindi i derivati parziali di queste funzioni M possono essere organizzati in una matrice m per n per matrice, la matrice giacobica di f:
{{\ cfrac { \ relatore {bmatrix} {\ partial x_ {1}} {\ partial x_}} & \ cdots & {\ cfrac {\ \ parziale y_} {\ parziale xn}} \\\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ cfrac {\ partial e {m}} {\ partial x 1}} & \ cdots & {\ cfrac {\ partial y μl}} {\ Parziale x_ {n}}}} end {bmatrix}}}
Questa matrice è notato in modi diversi:
jf (x 1, …, xn), o ∂ (e 1, …, ym ) ∂ (x 1, …, Xn) o DF (x 1, …, Xn) o ∇ f (x 1, …, xn) {\ displaystyle j \ {f}} (x 1, \ Ldots, Xn), \ Qquad {\ mbox {o}} \ Qquad {o}} \ Qquad {\ frac {\ partial (y_ {1, \ ldots, y ™)} {\ partial (x 1, \ ldots, xn)} }}} \ Qquad {{o}}} Qquad d {f} (x 1, \ ldots, xn}), \ Qquad {\ mbox {o}} \ Qquad \ nabla {{{\ boldsymbol {\ mathbf {f }}} (x1}, \ ldots, x_ {n)}
Nota che la riga I-questa in coincidenza con il gradiente del Funzione Yi, per tutti i = 1, …, m.
Se P è un punto di rn e f IT è differenziabile in P, quindi il suo derivato è dato da JF (P). In questo caso, l’applicazione lineare descritta da JF (P) è la migliore approssimazione lineare vicino al punto P, in questo modo:
f (x) ≈ F (p) + jf (p) (xp) {\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) \ circa \ mathbf {f} (\ mathbf {q) + j _ mathbf {f}} (\ mathbf {}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {})}
per x vicino a p. O più accuratamente:
lim ‖ x – p ‖ → 0 ‖ f (x) – f (p) – jf (p) (x – p ) ‖ ‖ X – p ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim \ \ \ mathbf {} \ | \ to 0} {\ frac {\ | \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {f} ( \ mathbf {}) -jp {\ mathbf {f}} (\ mathbf {}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {}) \ |} {\ | \ mathbf {x} \ mathbf {p} \ | }} = 0}
In alcuni spazi vettoriali di dimensione non finita, formata da funzioni, il concetto di matrice giacobica può essere generalizzata definendo un’applicazione jacobian lineare.
Exemprary
Esempio 1. La matrice giacobica della funzione f: r3 → r3 definita come:
f (x 1, x 2, x 3) = (x 1, 5 x 3, 4 x 2 2 – 2 x 3) {\ DisplayStyle F (x 1, x2, x 3) = (x 1, 5x 3, 4x 2 2 -2x 3)}
è:
jf (x 1, x 2, x 3) = {\ displaystyle j_ {f} (x_ 1, x2, x_3) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & -2 \ end {bmatrix}}}}
Non sempre la matrice giacobica è quadrata. Vedere il seguente esempio.
Esempio 2.Supóngase La función f: R3 → R4, CUYAS Componente figlio:
y 1 = 1 / x 1 {\ Displaystyle y_ {1} = 1 / x_ {1} \;}
y 2 = 5 x 3 {\ displaystyle y_ {2} = 5x_ {3} \,}
y 3 = 4 x 2 2 – 2 x 3 {\ displaystyle y_ {3} = 4x_ {2} ^ {2 } -2x_ {3} \,}
y 4 = x 3 Sin (x 1) {\ Displaystyle y_ {4} = x_ {3} \ Sin (x_ {1}) \,}
Aplicando la definizione de matriz jacobiana:
jf (x 1, x 2, x 3) = =. {\ displaystyle j_ {f} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ parziale x_ {2}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ parziale x_ {3}}}} {3}}}} {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {1}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {2}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {3}}} \\ {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ {1}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ { 2}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ {3}}}}} {\ dfrac {\ partial y_ {4}} { \ parziale x_ {1}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {4}} {\ partial x_ {2}}} & {\ dfrac {\ partial y_ {4}} {\ partial x_ {3}}}}} {3}}}}}} = {\ begin {bmatrix} -1 / x_ {1} ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0
5 \\ 0 & 8x_ {2} & -2 \\ x_ { 3} \ cos (x_ {1}) & 0 & \ SIN (X_ {1}) \ End {BMatrix}}. }