formazione universitaria – Vol. 6 (2), 23-32 (2013)
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La sequenza fibonacci e il numero dell’oro in ingegneria elettrica e analisi numerica
la sequenza fibonacci e la sezione dorata in ingegneria elettrica e analisi numerica
carlos figueroa (1), Lamberto Castro (2), Jesús R. Fox (2), Manuel Lozano (2)
(1) Università di Sonora, divisione ingegneristica, Dipartimento di Ingegneria industriale, Unità regionale AV Center. Rosales e L. Encinas, Col. Center. Cp. 83500. Hermosillo, Sonora, Messico. (E-mail: [email protected])
(2) Università di Sonora, divisione scientifica e ingegneristica, dipartimento di fisica, matematica e ingegneria, unità regionale del sud. Lázaro Cárdenas No. 100. C.P. 85880, Navojoa, Sonora, Messico
Sommario
Questo articolo ha lo scopo di sviluppare soluzioni alternative a due diversi problemi contenenti il rapporto Aurea: 1) in un circuito elettrico con infinite resistenze ohmiche Una soluzione induttiva da parte della sequenza di fibonacci e il risultato è anche corroborato utilizzando frazioni continue; e 2) Nella formulazione newtoniana per la progettazione di un cono troncato della minima resistenza aerodinamica, viene proposta una soluzione numerica per testare la bontà del modello. Entrambi gli esercizi hanno potenza didattica in soggetti come ingegneria elettrica, meccanica vettoriale, analisi numerica e algebra superiore. Il lavoro rappresenta un aiuto nello studio dei problemi associati al raggiungimento delle abilità matematiche.
Parole chiave: Aurea Motivo, serie Fibonacci, scala semi-infinita, resistenza aerodinamica.
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Questo articolo afferma di sviluppare soluzioni alternative a due diversi problemi che contengono la sezione dorata: 1) In un circuito elettrico Infinite ohmic resistenza Questo documento fornisce una soluzione induttiva mediante sequenza di fibonacci e risultati sono corroborati utilizzando le frazioni continue; E 2) Nella progettazione di un flussum di un cono con la minima resistenza aerodinamica alla soluzione numerica è proposta per verificare la bontà del modello. Entrambi gli esercizi hanno potenza didattica su argomenti come l’ingegneria elettrica, la meccanica vettoriale, l’analisi numerica e l’algebra avanzata. Questo rappresenta carta di contributo allo studio di soggetti associati per migliorare le competenze matematiche
Parole chiave:.. Sezione Aurea, sequenza di Fibonacci, Scala semi-infinito, resistenza aerodinamica
Introduzione
esiste nella scienza contemporanea un flusso di ricerca sulla sequenza di fibonacci e la ragione di Aurea. Le sue principali dimostrazioni sono il Forum: Conferenza internazionale sui numeri di fibonacci e la rivista The Fibonacci Quatermente; Inoltre, è disponibile nella letteratura specializzata di una serie di lavoro, dove molti hanno prodotto grandi exploit scientifici di fisica e matematica -Esampione, questo è il rapporto con la dimensione frattale di Mandelbrot, o la frazione continua di Ramanujan. In argomento delle sue applicazioni, uno degli autori più entusiasti è Stakhov (2005), specificamente menziona il suo utilizzo nella scienza e nell’ingegneria.
Stakhov, stabilisce e giustifica un nuovo approccio che chiama la matematica armonica, include la teoria di numeri, teoria delle funzioni iperboliche basate su numeri di fibonacci, oltre a matrici aureali; Ma più interessante, sottolinea che questa nuova teoria è la fonte della creatività in botanica, biologia, informatica, ingegneria dei sistemi in comunicazione, istruzione in matematica e nella teoria della fisica delle alte energie. Ma a prescindere dalle considerazioni di Stakhov, ci sono stati abbondanti risultati storici come la geometria degli oggetti di anura, i quaternioni, i numeri complessi e, naturalmente, la dimensione frattale. Oggetti come bambole di matriuskan, che si adattano all’altro, esemplifica i frattali; La matematica Benito Mandelbrot ha coniato il mandato del 1975, che costituisce un concetto di capitale nella geometria e in sistemi estremamente irregolari noti come caos. I frattali rappresentano uno straordinario tentativo di descrivere le forme del mondo reale, Livio (2006). Quanto segue descrive la sua relazione con il numero dell’oro solitamente rappresentato come Ø = 
il rapporto tra il numero di sub-oggetti n, il fattore di riduzione ƒ e il dimensionato d è
walser hans (2001) presenta la relazione tra natura e frattali; Inoltre, a partire dalla costruzione di un albero concordato, determina la sua dimensione risultante in 1.4404, cioè, non è un numero intero, ma un numero irrazionale.Per l’albero aureum 
condizione è soddisfatto 2 = Ød, quindi è facile vedere che
Inoltre Walser attraverso una geometria di Aurea illustra i rettangoli, altri poligoni, ellissi, polihedra e relazioni trigonometriche generate lì.
quaternioni sono i numeri ipercomplex che significano lasciando il complesso piano e la costruzione del piano 3D Complesso, un fatto che genera nuove algebre come Clifford. Serpil Halici, (2012), sottolinea l’esistenza di quaternioni di fibonacci. Cioè, ci sono rapporti della complessa variabile con la sequenza di fibonacci.
Alcuni matematici considerano una famiglia di numeri con proprietà comuni, ad esempio, hanno somiglianze nel contempo matematicamente la loro irrazionalità, utilizzando il calcolo infinitesimale, Huylebrouck (2001 ); Sono i cosiddetti numeri metallici o poema, il che significa che un punto di forza dell’ordine estremo. Distinto irrazionale da quel set è il numero di Eulero E, Zeta de Riemann ζ e π. Dei numeri metallici, l’argento “div id =” 49e0d007fd “> e il bronzo , sorge da un modo di generalizzare la sequenza di fibonacci. Come irrazionale sono, possono essere rappresentati in frazioni infinite continue; All’inizio del XX secolo, Srinivasa Ramanujan ha trovato un’espressione che include Ø, ey π tale che
sull’altro Mano, nel mondo della fisica, la relazione con alcuni fenomeni è abbondante. Ad esempio, negli studi dei processi di disintegrazione, che vanno dai sistemi di equilibrio a non equilibrio, come il caso della diminuzione delle popolazioni, della disintegrazione di rocce o delle svalutazioni di valuta, sono formulati con un meccanismo chiamato diminuzioni cumulative, come Buyukkhc e Dimirhan ( 2008) punto; Nel loro lavoro usano i cosiddetti set di canto, che portano a una dimensione frattale. Detto metodo, forma una teoria che ha dimostrato la sua utilità nella fisica ad alta energia.
in cosmologia e astronomia Il numero di oro è menzionato nella struttura dell’universo, la grandezza del sistema solare e il Saturno Anelli, Bennett (1999) è anche riportato nel rapporto tra le radio della Terra e il sole tra gli altri. Nella meccanica quantistica, è presentato nel rapporto tra le frequenze di un paio di oscillatori armonici come mostrato da Bleher (1990). Anche in fisica di stato solido e cristallografia, i materiali sono stati trovati come alluminio manganese, con strutture molecolari ambigue, che non sono amorfi o periodici, sono chiamate quasi-cristalli; Questi hanno la loro spiegazione fisica in un modello matematico basato su una configurazione di Aurea, come i mosaici di Penrose, Livio (2006). D’altra parte, la sua presenza è stata anche controllata al fattore Landé del magnetismo. Di seguito è spiegato il caso di strutture nascoste chiamate Group E8.
Nel magnetismo ci sono opere come quella di Affleck (2010) e offline (2010) riportando la ragione d’oro nei materiali magnetici compositi, poiché in una collezione di particelle di stati collegati la massa è ridotta. Il calcolo degli stati relativistici include le rotazioni vicine alla velocità della luce fornita in termini di E = MC2 .dado che merita un’analisi relativistica, determinando il rapporto di massa è un problema importante. Un’alternativa è per metodi di teoria quantistica dei campi. Nei sistemi poco dimensionali ci sono soluzioni esatte. Self Report Risultati di un esperimento con il materiale cobalto di Niobate C0NB2O6 dove c’è una ragione per la massa in termini di numero d’oro. Questi sono legati alle strutture chiamate E8 (nascoste), una delle più eccezionali e interessanti dei cosiddetti gruppi di bugie. L’esperimento di Dropout ha dimostrato il rapporto di massa di due cobalto cobalto di niobate a bassa energia, avvicinandosi al rapporto Aurea. L’esperimento concorroborato i risultati del calcolo basato su quantum di campi e considerando un sistema di una dimensione, è stata determinata la soluzione esatta.
Tuttavia, ci sono autori come Falbo (2005) e Markowsky (1992), Hanno un diverso punto di vista perché dubitano le qualità sproporzionate assegnate al numero dell’oro. Qui ci sono dichiarazioni come Markowsky che dice: “Le proprietà generalmente matematiche sono correttamente dichiarate, ma spesso quelle presentate in architettura, letteratura ed estetica sono false o ingannevoli”. Dice che ha forgiato diversi miti che vengono ripetuti molte volte e sottolinea errori nella storia del numero di oro, così come alcuni patrimoni architettonici e artistici come la Grande Piramide d’Egitto, il Partenone della Grecia, o il La costruzione delle Nazioni Unite a New York, dipinti di Leonardo da Vinci, non esibiscono le dimensioni della nostra nostre. Allo stesso modo, Falbo si riferisce a una specie di “cult” al numero dell’oro.Dimostra anche come in alcuni casi, l’affermazione che la proporzione dell’oro ha un posto speciale tra i numeri, sebbene come una descrizione valida della natura non sia compatibile. Inoltre, confuta l’idea che sia frequentemente presentato in arte e architettura. Ad esempio, quando si sta agita, trova che non vi è alcuna base per dire che il numero dell’oro è naturalmente riprodotto nelle conchiglie. In particolare, non vi è alcuna base per affermare che è presentato nei nautili. Discute anche del suo disaccordo con Mario Livio che la ragione di Aurea è “il numero più incredibile del mondo”.
Tuttavia, il soggetto può essere plausibile se si riferisce al lavoro di Stakhov, dove il giusto La cosa è pensare nella serie Fibonacci come principio generale che può essere aperto a specifiche e specifiche applicazioni tecnologiche. Il nostro lavoro tratta due problemi che possono aiutare nell’insegnamento della matematica e della fisica, nonché di avere effetti tecnologici. È noto che una scala semi-infinita di resistori in serie e in parallelo, ha un’applicazione in metrologia digitale; E per quanto riguarda gli studi di resistenza aerodinamica, vengono effettuati nell’industria automobilistica e aerospaziale.
In primo luogo, è stato analizzato un esercizio di testo di fisica popolare, il problema dei circuiti elettrici di tipo scala o anche la semi-scala Resistenza infinita. Questo caso è trattato in infinito di libri come M. Alonso ed E. Finn (1967), e quello dei problemi per la fisica Olimpiadi (2007). Anche nella letteratura specialistica, Wörner (1999) funziona il cui lavoro utilizza frazioni continue, oltre a determinare elegantemente le tensioni dell’intero circuito. Allo stesso modo, Sanjinés (2010) presenta soluzioni utilizzando la rappresentazione della matrice della frequenza fibonacci e il calcolo degli autovalori. Entrambi i lavori sono nuovi moduli per risolvere lo stesso problema. Qui il nostro compito per il circuito con le serie infinite e le resistenze paralleli aggiunge un’analisi induttiva basata sulla serie Fibonacci, è anche possibile confrontare questa soluzione con le frazioni continue utilizzate da Wörner.
subito, in base ai lavori di Cruz et.al. (2010), in cui il forte cono troncato della minima resistenza aerodinamica è determinata applicando una soluzione algebrica, i suoi principali risultati che richiedono un’analisi preventiva sono presentati, dal momento che il lavoro di quel gruppo di ricerca contiene una serie di dimostrazioni che possono arricchire lezioni di meccanica vettoriale e algebra superiore; Il nostro contributo cerca di completare queste analisi con un trattamento numerico utilizzando Matlab. L’analisi è generata per un particolare cono dimensione, in base ai risultati calcolati da tale gruppo, con l’obiettivo di facilitare i calcoli attraverso l’uso del Matlab.
Nelly Ametista León Gómez (2006), si riferisce a Lo studio degli argomenti come la crittografia o la teoria dei numeri, che possono dare agli studenti l’opportunità di avvicinarsi alla matematica in un peso leggero, per motivare la ricerca della conoscenza. I problemi qui trattati e discussi possono essere espressi in modo didattico e raggiungere tale scopo.
Sviluppi matematici
Motivi Aurea e sequenza fibonacci
Walser è uno di Gli autori che dimostrano meglio i concetti. Se il rapporto di segmento più piccolo è definito tra uno più grande ha l’equazione di seconda scelta
con le radici in questo modo
La lunghezza deve essere positiva pertanto è scelta X1. Walser usa il reciproco di questo come la ragione d’oro. Della equazione quadratica ed entrambe le radici, molte proprietà che possono essere utilizzate sono osservate per ricavare altri risultati. Ad esempio, se
devi
L’ultimo può essere generalizzato a
Applicazione della linearizzazione dei poteri è ottenuto nel Coefficienti dei numeri di fibonacci di linearizzazione, come
che soddisfa il rapporto di ricorrenza
Se i valori iniziali come A0 = 1 A1 = 1 sono definiti 1,1,2,3, 5,8,13.21, 34.55 .. . Quello può essere generalizzato in diversi modi.
Infine dal rapporto successivo dei numeri di fibonacci, è possibile ottenere il valore limite,
Circuito elettrico di resistori infiniti in serie e in parallelo.
In figura 1 Un circuito è descritto con una quantità infinita di resistori di valore uguale A. Può essere dimostrato che il Il circuito equivalente è nel modulo Req = ØR.
Fig.1. Circuito elettrico di resistenze infinite.
Per una prima dimostrazione induttiva, si basa su un circuito di soli 3 mesh, tale circuito è impostato per ferire 2a.
fig. 2a.circle con 3 mesh.
fig. 2b. L’ultima maglia ha due resistori seriali che sono in parallelo con il suo adiacente.
Nella figura 2b, la formula di resistenza equivalente viene applicata per i circuiti paralleli, in modo tale da
D’altra parte, il circuito risultante è mostrato nella Figura 3a:
fig. 3a. Viene osservato lo stesso processo: due resistori in serie (R + 2/3 r), che sono paralleli con l’adiacente.
FIG. 3b. Nuova configurazione risultante.
Figura 3b consente di determinare un’altra resistenza equivalente del modulo
Processo Per risolvere il problema di tre maglie, ultime le seguenti configurazioni.
fig.4. Resistenza equivalente per tre maglie.
Applicazione della soluzione a quest’ultimo è raggiunto
in un circuito di Four Meshes La soluzione è req = 21/13 R. La presenza della serie Fibonacci è identificata Wörner fa una dimostrazione basata su frazioni continue, utilizzando il fatto che tutto il numero irrazionale può essere rappresentato come una frazione infinita continua, di tale modo Il numero dell’oro è scritto
Per il caso del circuito di figura 3b può essere espresso come
e infine per il circuito di figura 4,
Una dimostrazione più formale è realizzata nel libro dei problemi olimpici, si propone di separare il circuito in due sezioni come mostrato nella Figura 5.
fig. 5. Un altro modulo abbreviato per configurare il circuito di resistenze infinite.
La parte destra della figura 5 rimane una raccolta infinita di resistenza e quindi è uguale alla figura 1. Questa situazione può essere rappresentata come nella figura 6. Pertanto, può essere considerato come segue:
fig. 6. Circuito contenente nella resistenza equivalente tutti gli altri.
È definita una nuova variabile come RE = R + REQ. Considerando il lato destro di questa equazione come ricercata equivalente resistenza, quindi ha
che quando si risolve quest’ultimo viene raggiunta req = Ø R. Manca il compito di cercare tensioni e correnti in ciascun elemento del circuito.
Resistenza che offre il movimento un cono troncato.
Il problema aerodinamico Newton per i coni troncati, Come quello sul lato sinistro della figura 7, la soluzione ha una piacevole sorpresa ed è che può essere dimostrata, secondo Cruz et al. (2010), che il cono di resistenza minimo è uno che è costruito con proporzioni aureali. In quel lavoro c’è una funzione per rappresentare la resistenza aerodinamica in quanto è descritta in modo generale.
Si presume che il cono rimesanda immobili e le particelle si spostano con velocità costante ν. Innanzitutto, il caso di un cilindro radio RY Height H viene analizzato, lato destro figura 7, i momenti lineari prima e dopo lo shock saranno P1 = MV e P2 = MV.
fig. 7. Cono e cilindro troncato, quest’ultimo è più facile e facilmente veloce.
con v = v. Solo le particelle a distanza inferiore a una distanza inferiore a VΔt della base superiore del cilindro possono collidarne in tempo Δt. Lasciare ρ è la densità del supporto e V è il volume del cilindro R-Radio e dell’altezza VΔt. Gli autori definiscono RIL come resistenza del cilindro e dimostrano chiaramente che è dato da RICL = 2πρv2R2.
Per il caso di un cono troncato di altezza H con radio radium radio X inferiore, le collisioni possono si verificano alla base superiore e sul lato. Lato destro della figura 8.
Resistenza RS del mare sulla base superiore e della resistenza RC sul lato, quindi la resistenza totale R x sarà la somma di entrambi r x = r s + rc.
fig. 8. Il risultato del cilindro è utile per risolvere il cono troncato.
quando x = r deve rc = 0 pertanto rr = rcil; Inoltre, utilizzando il risultato per un cilindro, viene calcolato in quel lavoro, che la resistenza della superficie è Rs = 2πρv2x2.
Per ottenere la resistenza del lato RC, si può osservare come le particelle che si scontrano contro il lato del cono in un momento Δt sono quelle che sono in un “cilindro” vuoto, come quello su Il lato sinistro della figura 8, il cui volume è lo stesso di quello del cilindro cavo di altezza VΔt, dal raggio esterno RY Radio Interior X. Sotto considerazioni simili al primo caso, aggiungendo un’analisi dell’algebra e della trigonometria di base, tale funzione che rc = 2πρ r2- x2 v2cos2a.
Quando si aggiunge RS e RC è ottenuto r x = 2πρv2x2 + r2 – X2 Cos2a.
Utilizzo del rapporto tra Coseno in Figura 8,
Anche se K è Definito 2πρv2 quindi ha la funzione della resistenza aerodinamica,
Per cercare il cono troncato della resistenza minima devi trovare il Valore minimo di R (X) nell’intervallo 0 < X < R. È equivalente a trovare il minimo di CE. (21). Per modificare un piccolo la funzione viene aggiunta e sottratta H2 sul numeratore è quindi,
e quindi, minimizzare f (x ) per 0 < x < r equivale a massimizzare
Il nostro contributo può ora essere sollevato, si tratta di generare un particolare cono ed essere in grado di facilitare il calcolo; Pertanto, viene proposta una soluzione con il metodo grafico. Dall’equazione c’è un caso tale che H = R = 1, quando si sostituisce in CE. (23), la funzione da derivare è
Innanzitutto, il tuo grafico è generato in 0 < X < 1, come mostrato nella Figura 9, ha a massimo tra 0,30 e 0,40. Quando si derivano EC. (24) e corrispondono a zero, problema equivalente a cercare la radice dell’equazione derivata. Applicazione dei comandi MATLAB appropriati, si ottiene lo zero della funzione.
Se l’equazione è grafico (24) e ( 25), la sua validità è osservata in figura 10.
fig. 9 grafico di un massimo vicino a 0,40
fig. 10. La radice è osservata da 0,40
per costruire una base di cono h e radio r, che al momento del troncamento all’altezza H produce un cono minimo di resistenza, procedendo secondo la figura 11. È facile da usare Determina che l’altezza H deve essere data da
se fatto h = r, allora h = tr. Con 
.
Per il caso della particolare dimensione cono r = 1, h = 1, è usato per ferire 11, dove può essere visto come il La dimensione del rettangolo aureum è coerente con il caso particolare. Pertanto, il cono di resistenza minimo ha dimensioni di orane. La figura 12 mostra il rettangolo del caso particolare proposto.
fig. 11. Metodo di costruzione di un rettangolo di aureum.
fig. 12. Rettangolo aureum che prova la validità del metodo segnalato
Ora un altro modo per corroborare il risultato è usare l’angolo di un rettangolo di Agone, dove può essere osservato così (90º – 58.28 °) = 1Ø; Il seguente compito è dimostrare il risultato senza Matlab, cioè dall’analisi algebrica.
Discussione dei risultati
dei risultati analizzati per ciascun problema, un’analisi complementare degli autori consultati è ottenuto. Nel circuito della scala semi-infinita della resistenza ohmica, la soluzione induttiva può essere collegata con l’uso della rappresentazione in frazioni continue che lo fa Wörner. Nella soluzione del problema olimpico, i collegamenti per testare, principalmente quando si costruiscono l’equazione di seconda scelta. È anche possibile risolvere il problema se si dispone di una fonte di tensione. In altri riferimenti ci sono tali trattamenti. Il calcolo dell’energia e dell’intensità è in attesa di tutto il circuito.
Nel problema del cono troncato della resistenza minima, viene presentata un’analisi, in base al metodo di Jaime Cruz Sampedro. Il nostro contributo prova la validità della proposta applicando il suo risultato a un caso particolare, ciò ci consente di facilitare il calcolo del derivato; Inoltre, consente di graficare e verificare attraverso un compito numerico la veridicità delle formule consultate. È importante in questo caso effettuare tutte le dimostrazioni generate nel lavoro di consultazione, poiché costituisce una lezione esemplare. L’attività mancante è quella di testare l’equazione (21), (22) e (23) da un percorso diverso.
Conclusioni
La divergenza di idee tra Falbo, Markowsky e Stakhov, hanno Effetti positivi nello studio del soggetto perché il primo riesce a spogliare l’alone magico attribuibile; Tuttavia, è auspicabile che il fondamento della matematica armonica, che implica una sfida importante.Il nostro lavoro tenta di dimostrare il ruolo crescente della sequenza di fibonacci nella didattica della fisica e della matematica in modo piacevole, pertanto i due problemi sono considerati utili in questo contesto. Il problema del circuito può essere esteso, rendendo altre configurazioni di scale semi-infinite di condensatori o calcoli di tensione. Per il caso dell’aerodinamica, il nostro approccio si basa sul grafico e dal derivato risolto. La nostra collaborazione è quella di dimostrare il risultato consultato. Il valore che massimizza la funzione, è incluso quando si disegna un rettangolo di aureum. La nostra analisi ha un valore dimostrativo con l’uso del software. È necessario chiarire la possibilità di lasciare il contesto newtoniano ed esplorare altri metodi. Infine, non ignorare i commenti delle competenze matematiche formative coinvolte in entrambi gli esercizi e le opportunità che si aprono per invitarvi ad esplorare meraviglie come i frattali di Mandelbrot e l’eredità di Ramanujan.
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Ricevuto il 12 settembre 2012; Accettato il 08 novembre 2012; La versione finale ha ricevuto il 10 gennaio 2013.