Bauck era la figlia del musicista, critico musicale e compositore tedesco Carl Wilhelm Bauck (1808-1877) e svedese Dorothea Fredrique (1806-1834). Aveva un’altra sorella, Hanna Lucia e due fratelli maggiori, Emanuel e Johannes. È cresciuto a Stoccolma, dove ha studiato con un’altra giovane donna che è diventata un amico molto vicino, il pittore dei ritratti danesi Bertha Wegmann. Rimase in Svezia fino al 1863, quando si è trasferito in Germania per studiare la pittura.
La sua istruzione artistica è iniziata con Adolf Ehrhardt a Dresda, continuò con Albert Flomm a Düsseldorf, e in seguito con Joseph Brandt a Monaco. La maggior parte del loro allenamento del paesaggio si è svolto anche a Monaco, sotto la tutela del pittore formata alla Johann Diedrich Christian Langko Academy, in particolare ispirata durante la sua carriera dalla Scuola di Pittura Barbizon. La maggior parte dei dipinti che Bauck prodotti durante la sua carriera sono classificati nello stile Barbizon.
Bauck ha iniziato la sua pittura di carriera quasi esclusivamente paesaggi, e per questo motivo ha ottenuto un successo moderato. Nonostante questo, in seguito si è aperto a ritratti, e alla fine del 1890 ha prodotto entrambe le parti uguali. Durante il corso della sua carriera ha guadagnato premi nelle mostre in Germania e all’estero, e il suo Ttrabajo è stato rappresentato diverse volte in gallerie di Stoccolma e Trieste.
Nel 1880, Bauck si è trasferito a Parigi e ha condiviso uno studio con La sua amica Bertha Wegmann. Durante questo periodo Bauck dipinse un ritratto di Wegmann intitolata dall’artista danese Bertha Wegmann dipinto un ritratto, e Wegmann dipinti, tra circa venti ritratti, il suo noto ritratto di Bauck, Målarinnan Jeanna Bauck. Anche durante il suo tempo a Parigi, sia, Bauck che Wegmann, hanno mostrato il suo lavoro nei saloni di Parigi del 1881 e del 1882.
Bauck ha mostrato il suo lavoro alla fiera del mondo di Chicago del 1893, e il suo lago forestale e il suo Il ritratto di un uomo è stato incluso nel libro dei pittori del 1905.
Nel 1897, Bauck viveva a Berlino e insegnato alle classi notturne part-time di pittura all’Associazione Arts di Berlino. È qui che ha incontrato e in seguito divenne amico di uno studente di 21 anni, Paula Mersesohn-Becker, che in seguito ha descritto Bauck come il suo insegnante preferito. Becker sarebbe diventato un pittore altamente influente del primo espressionismo.