Oggi pubblichiamo finalmente la soluzione e i finalisti e il vincitore della sfida infinita del pendio che abbiamo raccolto circa tre settimane fa. La prima questione della sfida è stata relativamente semplice: qual è l’espressione dell’angolo di $ \ ‘che forma la direzione del movimento dell’oggetto con la direzione “in discesa”?
la semplicità relativa era dovuta, circa Tutto, il fatto che, sebbene non sappiamo quell’espressione, conosciamo il suo valore iniziale e il suo valore dopo molto tempo. Inizialmente siamo stati indicati che la direzione era perpendicolare alla “discesa”, quindi $ \ theta (0) = 90 ^ {\ TIRC} $, e l’angolo tende, man mano che il tempo passa, per diventare sempre più e più piccolo, fino al limite di un tempo infinito raggiunge il valore $ \ theta (\ INFTY) = 0 ^ \ Circ} $ Quindi, dopo aver ottenuto un’espressione angolare in funzione del tempo, è stato possibile almeno – anche se non avevo assicurato che la risposta sia corretta – controlla che i tuoi valori per un tempo nullo e un tempo molto grande fosse quello corretto .
Molti di voi hanno risposto correttamente a questa domanda, il che è stato il requisito di ricevere il secondo. Tuttavia, alcuni hanno spiegato bene il processo. Una spiegazione chiara è quella di uno dei finalisti, José Manuel:
Prima di tutto, eseguiamo uno schema della situazione e troviamo l’espressione dell’angolo θ. Nel mio caso ho chiamato VX alla velocità nel senso di pendenza e v e al suo perpendicolare nell’aereo. Ricordiamo che l’oggetto ha una velocità iniziale v0 precisamente nella direzione e.
tan \ theta = \ Frac {v_y} {v_x} \ RightArraw \ theta = ATAN \ FRAC {V_Y} {V_X} $
Nel caso ideale dove non c’è attrito, né con la superficie né con l’aria, entrambe le velocità può essere analizzato completamente indipendentemente. Perché? Diamo un’occhiata alle forze che entrano in gioco:
Come vediamo, le uniche forze sul corpo Sono la gravità FG (decomposta nei componenti X e Z) e la normale forza n, che è quella che esercita l’aereo sul corpo e impedisce di passare attraverso di esso. Senza attrito, non c’è forza sull’asse y. Il normale e il componente della forza di gravità sono cancellati in z, in modo che l’unica forza risultante sia il componente del peso in X. È qualcosa di simile a ciò che accade quando A I tiri parabolici sono studiati: la composizione di due movimenti è considerata, una con velocità costante e un altro perpendicolare, uniformemente accelerato.
Troviamo, quindi, la forza risultante in X. È sufficiente sapere l’espressione di La forza della gravità e trova la sua proiezione. Essere m La massa dell’oggetto YG Accelerazione della gravità:
$ f_g = mg \ reapyraw f_x = mg \ α \ alfa $
Applichiamo la seconda legge Newton:
$ f_x = A_X M \ RightArraw A_X = \ Fac {f_x} {m} $
Ora, poiché c’è solo una forza costante in quella direzione, stiamo affrontando un movimento uniformemente accelerato. Così come la velocità iniziale in questa direzione è NULL:
$ V_X = A_X T $
in modo da:
$ v_x = g (\ Sin \ ALPHA) T $
Come si può vedere, la velocità X è indipendente dall’impasto. Immagino che Galileo si sentirebbe soddisfatto.
La velocità sull’asse e lo conosciamo dall’inizio. Se, come abbiamo detto, non ci sono forze applicate su questo asse, il corpo continuerà a muoversi in questa direzione con la sua velocità iniziale (prima legge Newton).
$ V_Y = V_0 $
Pertanto abbiamo già entrambe le velocità. θ Resta:
$ \ theta = ATAN \ FRAC {V_0} {G (\ Sin \ ALPHA) T} $
Se vuoi leggere la soluzione di José Manuel con calma e con il formato originale, è meglio di quello che mostro qui, puoi scaricarlo qui: soluzione JM.
Chi ha risposto correttamente a questa domanda ha ricevuto il secondo Parte, che era così:
ritiene la seguente modifica al problema: la situazione è la stessa di prima, ma ora c’è attrito. Il coefficiente dinamico di attrito con il piano inclinato è MU = TG30º (la 30a tangente, se non legge bene). E la domanda è – quale sarà il valore dell’angolo Theta dopo un tempo molto lungo, molto lungo (puoi considerarlo infinito)?
Qui è, a proposito, dove ho esitato tra questa domanda E un altro e il finale ho messo la gamba e ti ho detto che hai avuto la risposta sbagliata a molti che l’hai avuto bene … asino che è uno. Il fatto è che la risposta alla domanda era che l’angolo tende allo stesso valore di prima, cioè zero gradi: l’oggetto finisce in movimento esattamente nella stessa direzione di senza attrito, nella direzione “in discesa”.
Prima compreso la risposta di alcuni finalisti, una nota che può essere utilizzata per coloro che hanno risposto in modo errato: la forza di attrito è sempre diretta contro il movimento. Alcuni hanno scritto l’espressione della forza di attrito nella direzione in discesa e non nel perpendicolare, e alcuni lo inclusi in entrambi ma con $ 5 m $ valore in ognuno, ma sia una cosa che l’altra è sbagliata.
In effetti, il problema con questa seconda questione era che, poiché la direzione del movimento del corpo cambia nel tempo, la direzione della forza di attrito lo fa anche così, in modo che i suoi componenti XE e sull’aereo abbiano espressioni che variano in tempo in base alla velocità dell’oggetto ruota. Il modulo della forza di attrito è costante, ma il suo indirizzo non lo fa.
Nota che in questo caso non è stato chiesto, come nella prima domanda, l’espressione di θ a seconda del tempo, ma semplicemente il suo valore Sul limite di un tempo infinito. Era possibile ragionare come ha fatto il secondo finalista, BEVENDER:
Se $ \ MU $ è TG30 °, quindi la forza di attrito è $ \ MU $ NORMAL = TG 30th Cos 30º10 M / S ^ 2RASA = 5M Newtons.
Casualmente il modulo della forza di attrito e la forza del downcrend sono la stessa (massa di 5 * newton). . Tuttavia, la direzione è diversa, almeno all’inizio, poiché la forza di attrito è parallela al movimento con la direzione opposta.
Trova la forza di copertura vettoriale nelle mie coordinate 2D, è equivalente a trovare 5 * m (cos θ, sen θ), dove θ è l’angolo che forma il movimento. Compreso l’effetto di attrito!
Non lo faccio. Ma se vedo chiaro che mentre il corpo si muove nella direzione “NO DOWHILL”, la forza di attrito continuerà a indossare la componente Oy parallela alla velocità V0 originale, mentre il componente OM continuerà ad avere un’accelerazione positiva. F.caída + f.roment = (5m-5mcosθ, -5msenθ)
almeno mentre θ è strettamente maggiore di zero.
di piccolo è θ, se è maggiore di zero, al secondo successivo sarà ancora più piccolo, e il movimento diventerà sempre più in discesa. E lì vedo due opzioni:
o nessun zero è stato raggiunto, ma da ciò che viene detto nel paragrafo precedente Il limite è zero. O il θ = 0 è raggiunto, con il quale vengono compensate le forze e il nostro movimento diventa un movimento di velocità uniforme (accelerazione zero).
In ogni caso, l’oggetto finirà Scorrimento “in discesa” a velocità costante (o che sembrerebbe a chiunque lo guardasse).
Infine, a coloro che rispondono correttamente questa domanda è arrivata il terzo:
in modo efficace, dopo molto tempo l’oggetto si sposta completamente “in discesa” e l’angolo è 0. Ora ti dico qualcosa di me (anche se mi piacerebbe essere in grado di dimostrarlo, Mentre non fa parte della sfida): dopo molto lungo la velocità sarà costante. E la domanda finale è: che cos’è quella velocità costante dopo molto tempo?
Questa domanda era molto più dannatamente rispetto al precedente, a causa del tentativo di ottenere un’espressione di velocità a seconda del tempo, era mostruoso ottenuto spaventoso. Prima di quell’orrore c’erano due opzioni: si era usare l’analisi numerica (un programma per computer fatti in casa, un foglio di calcolo, ecc.), E l’altro era quello di realizzare qualcosa di molto curioso e importante e agire di conseguenza.
I due finalisti le cui soluzioni che ho mostrato, Bevender e José Manuel, hanno usato approssimazioni numeriche, ed entrambi hanno ottenuto la risposta corretta in questo modo: la velocità con cui l’oggetto tende è metà della velocità con cui è iniziata.
Ma c’è una elegante dimostrazione analitica, che è quella che ha ottenuto la squadra vincente, formata da Mmononi e sua figlia. Come un MAX Planck, Mmonchi ha vinto numericamente la stessa soluzione dei finalisti, e immagino che come fossero sorpresi dall’apparente coincidenza che la velocità finale fosse metà della velocità iniziale. Ma, come pensò Planck, ci sono poche coincidenze in fisica.
Così Mmonchi guardò nuovamente il problema e ho trovato la dimostrazione elegante che me ne vado. La spiegazione della soluzione non è la sua, a proposito, ma di sua figlia, il cui nome non osi mettere qui perché ho dimenticato di chiedergli il permesso. Fortuna, a proposito, per il suo esame – il tuo padre malevolo ha usato la sfida come formazione per quell’esame, dimostrando così la durezza del suo cuore –
l’audace dell’enfasi è mio perché quella frase è quella che quella frase Questo dovrebbe fare “sulla lampadina” in coloro che sono quasi arrivati a questo:
Nella seconda parte abbiamo un corpo che riceve due forze parallele alla superficie del piano. La prima forza è corrispondente alla gravità che agisce nella direzione in discesa. Questo è uguale a: m · a · sen30 ° = 5m.La seconda forza è corrispondente all’attrito che agisce nella direzione contraria del movimento (V (T)), che forma un angolo θ (T) con la pendenza. Vale TG30º · N · Cos30º = 10m · Sen30º, che è uguale a 5m.
La forza “discesa” (FCA) è uguale alla forza nella velocità (FV), per la quale l’accelerazione del corpo può essere diviso in due accelerazioni di uguale valore. Uno nella stessa direzione Vac, e un altro in direzione contraria a v.
la velocità VCA (T) dopo un intervallo Δt sarà lo stesso per VAC (t ) + AΔT, e VC (T) sarà uguale a V (T + Δt) = V (T) -aΔt. Queste due accelerazioni sono le stesse, quindi AΔT = VAC (T + ΔT) -VCA (T) = V (T) -v (T + Δt). Da lì raggiungiamo v (t) + vacc (t) = V (T + Δt) + VCA (T + Δt), il che significa che la somma di V e VAC è costante .
come nell’istante iniziale V (0) = V0 e VAC (0) = 0 Inoltre, abbiamo V + Vaca = v0.
Sappiamo per trigonometria a VCOSθθ . Da lì arriviamo a vtosθ = v (1 + cosθ) = v0, e quindi v = v0 / (1 + cosθ).
Vogliamo sapere quale valore l’angolo θ tende. Per questo prendere come un’origine di coordinata un punto che si muove in discesa mantenendo all’altezza del Cu ERPO. Il corpo si muove attraverso quell’asse X con una velocità iniziale (V0), e si ferma nel suo movimento, poiché c’è attrito. Dal momento che non c’è nulla che aumenta la sua velocità e va la frenata, la velocità tende a 0. Dopo un tempo lungo abbastanza la velocità sull’asse X non sarà alcuna apprezzabile rispetto alla velocità in discesa, quindi l’angolo che formerà il totale della velocità con la discesa L’indirizzo tenderà a 0.
quindi, dopo un tempo molto lungo la velocità sarà v = v0 / (1 + cos0) = v0 / 2.
Puoi leggere la spiegazione completa, che include la risposta alla prima domanda, qui.
Spero ti diverti come BellaCos combattendo con questa sfida, e che ti ricordi che il La cosa importante non è raggiungere la soluzione corretta ma dare le cellule grigie. Congratulazioni ai finalisti e ai vincitori, e fino alla prossima sfida!