La definizione dipende dal fatto che si stia funzionando in tempo discreto o continuo. Lo vedremo per la funzione dell’utilità CRRA, i due approcci danno la stessa risposta. Le seguenti forme funzionali supportano che l’utilità del consumo è additivamente separabile nel tempo.
Discreteditar Time
L’utilità totale su una vita è data da:
u = σ t = 0 t β you (ct) {\ displaystyle u = \ sum ^ {t = 0} ^ ^ β ^ {t} u (c_ {t)}
In questo contesto, il tasso di interesse reale è dato dalla seguente condizione:
qu ‘ (ct) = q β ru ‘(ct + 1) {\ displaystyle q’ (c_ {t) = \ beta ru ‘(c_ {t + 1})}
una quantità di denaro q {\ display q}
costi investiti oggi qu ‘(ct) {\ displaystyle q’ (c_ {t)}
unità di utilità, quindi dovrebbero dare il passo esattamente quel numero di unità di utilità in futuro quando viene salvata nel tasso di interesse lordo che prevale R {\ displaysty r}
. (Se c’era di più, allora l’agente potrebbe essere fatto meglio per salvare di più.)
Risolto per il tasso di interesse reale, vediamo che
r = u ‘(ct) β u’ (ct + 1) {\ Displaystyle r = {\ frac {u ‘(c_ {t)} {\ beta u’ (c_ {t + 1})}}}
In logaritmi, abbiamo
r = – ln – ln β {\ sinistra} – \ ln {\ beta}}
I record sono molto vicini alle variazioni percentuali, in modo da poter interpretare R come tasso di interesse netto come il 5%, mentre R è il tasso di interesse grezzo corrispondente come 1.05.
L’elasticità sostitutiva intertemporale è definita come la variazione percentuale dell’aumento del consumo per percentuale aumento del tasso di interesse netto:
∂ ln (ct + 1 / ct) ∂ r {\ displaystyle {\ crac {\ partial \ ln ( C_ \ T + 1} / c_ {t)} {\ partial r}}}
Sostitimenti Nel precedente registro equazione, possiamo vedere che questa definizione è equivalente all’elasticità del consumo crescita rispetto alla crescita dell’utilità marginale:
– ∂ ln (ct + 1 / ct) ∂ ln (u ‘(ct + 1) / u’ (ct)) {\ displaystyle – {\ c -1} / c_ {t})} {\ partial \ ln (u ‘(c_ {t + 1}) / u’ (c_ {t))}}}}}}}}}
