matematicamente a vorticidade é o campo vectorial definido pola rotación ou rotación do campo de velocidade:
(1 ω = ∇ × V {\ displaystyle {\ \ boldsymbol {Omega}} = {\ backsymbol {\ n}}} \ times \ mathbf {v}}
a orixe da vorticidade E a súa importancia “/ h3>
A presenza de vorticidade nun fluído sempre implica a rotación das partículas de fluído, acompañada ou non dalgunha deformación transversal. Nun fluído real, a súa existencia está íntimamente ligada a tensións tangenciales. A ecuación que permite estudar a cinética deste campo (chamada ecuación de transporte de vorticidade) obtense tomando a rotación a ambos os dous lados das ecuacións do momento das ecuacións dos Navier – Stokes e expresando o derivado local en termos da derivada substancial.
(2) d ω dt = ω ⋅ ∇ u + ν ν 2 ω {\ Displaystyle {d {\ boldsymbol {omega}} \ over dt} = {\ dolustsymbol {omega}} \ cdot {\ nadymbol {\ n}}} u + \ nu \ nbla 2 {\ backsymbol {omega}}}}
Vorticidade orixínase fundamentalmente en contornos sólidos porque os fluídos non poden desprazar eles, e despois esténdese dentro do fluído seguindo a lei de Vari Acción descrita pola ecuación 2. O primeiro termo corresponde á variación da vorticidade por deformación das liñas vórtices. Este fenómeno ocorre tanto en fluídos viscosos como non viscosos, pero é un feito notable que cando o fluído non é viscoso (ideal), este é o único xeito en que o vórtice pode variar. Como Kelvin mostrou nun dos seus teoremas, esta variación ocorre sempre para que o fluxo de vórtice asociado a unha superficie aberta que se move co fluído permanece constante, o que tamén implica que a variación da circulación γ da velocidade ao longo do contorno A mesma superficie sexa cero:
(3) d γ dt = 0 {\ displaystyle {\ crac {\ mathrm {D} \ gamma} {\ mathrm {D} t} = 0}
Para atopar unha explicación sinxela a este mecanismo de variación de vorticidade Imaxina que dentro dun fluído non viscoso foi formado dalgún xeito un tubo – Rexión fascinada con sección variable na súa lonxitude. Como dentro del non hai difusión viscosa, o fluxo de vorticidade asociado a calquera superficie transversal é idéntica e constante, polo tanto, cando a sección varía hai unha variación na intensidade da vorticidade.
A segunda ecuación O termo 2, que a diferenza do primeiro só é avaliado en fluídos viscosos, corresponde á variación da vorticidade de difusión viscosa e ten analoxía (ecuación diferencial similar) co fenómeno de condución de calor en sólidos. Debido a este fenómeno, as partículas que non teñen a vórticidade adquiren con partículas veciñas que, se teñen unha difusión de vórtice ao interior do fluído.
Un exemplo sinxelo que evidencia este fenómeno é o dun recipiente Cilíndrico cheo de fluído que parte do resto e de súpeto comeza a xirar sobre o seu eixe nunha constante velocidade angular. Calquera pode intuír que o fluído orixinalmente permaneceu inmóbil comezará co recipiente. Primeiro o fará no contorno, pero despois dun certo tempo todo o fluído estará xirando coma se fose unha masa sólida dentro do recipiente. O que ocorre no primeiro instante do experimento é precisamente unha xeración de vorticidade debido á aparición dun gradiente de velocidade transversal. É dicir, de súpeto as partículas do contorno están xirando co contenedor debido á súa adhesión, mentres que os seus veciños aínda permanecen inmóbiles. O que pasa a continuación é unha difusión viscosa progresiva que dura ata chegar ao estado do réxime; Cando todo o líquido alcanza a mesma velocidade angular e, polo tanto, a distribución da vorticidade é constante.
Se repetimos exactamente o mesmo experimento pero con fluídos menos viscostas notaríamos un tempo de transición máis longo, mentres que para fluídos máis viscosos tempos máis curtos; Que é un indicador que a viscosidade está relacionada coa velocidade de difusión da vorticidade. Este mesmo mecanismo de xeración de vorticidade é responsable da xeración das capas circundantes ao redor dos corpos sólidos.O proceso de formación destas rexións é similar, aínda que neles pode atopar gradientes de presión que modifican o seu desenvolvemento.
O exemplo anterior deixa como o primeiro concepto que a viscosidade é a capacidade das partículas para infectar a súa vitalidade e Que dependendo diso o fluído será en maior ou menor medida dominada pola vórticidade. Non obstante, o campo de movemento dun fluído tamén se caracteriza por outros factores: a escala do sistema (a súa lonxitude característica), a súa velocidade característica ea súa densidade. O efecto de escala é un indicador que o tamaño dun corpo é un dos parámetros determinantes do campo de movemento. Se ten dous modelos da mesma escala sólida pero diferente e circula por eles polo mesmo fluído á mesma velocidade, a vorticidade non terá porque para estender o mesmo en ambos os casos, polo que a forma e / ou intensidade do As rexións vórtices non serán necesariamente idénticas. Se desexa ter movementos similares, debe circularse un fluído menos denso ou unha velocidade menor ou unha maior viscosidade.
Un exemplo sinxelo sobre o efecto de escala é a circulación fluída tangente a un plano sólido, onde está conclúese que o desenvolvemento da capa circundante depende da lonxitude. A densidade, do seu lado, é un factor dinámicamente intervedor, porque variando a masa dunha partícula de fluído varía a súa resposta ás accións que se exercitan nel. Desde Este punto de vista amplo, é evidente que o nivel de difusión da vorticidade está intimamente ligado ao número de Reynolds do fluído.
cunha expresión matemática moi sinxela, o número de Reynolds permite distinguir e comparar o movemento de fluídos. Isto ocorre porque reúne as características fundamentais do movemento: a escala de espazo e tempo, masa e accións internas. En termos xerais pódese dicir que cando este número diminúe os fenómenos asociados coa viscosidade gaña a preponderancia e, polo tanto, pode esperar unha maior extensa rexión vórtica. Pola contra, cando se incrementa, os fenómenos viscosos debilitan en relación cos non viscosos e, polo tanto, espérase máis rexións vórtices compactas.
Vorticidade en fluídos non viscosedy
en Os fluídos ideais (non viscosos e incompresibles) a vorticidade adquire importancia fundamental. Aínda que neles a ausencia de viscosidade impide a difusión da vorticidade, é posible atopar rexións únicas extremadamente compactas onde a vórticidade é infinitamente intensa. Algúns exemplos destas rexións son as vocacións e as follas vórtices. Estas rexións únicas están empregadas en numerosos estudos aerodinámicos, como o dos perfís Zhukovski allearies eo método Prandtl-Glauert.
a vorticidade eo movemento FieldEditar
Para fluídos estrictamente incompresibles, xa sexa viscoso ou non viscoso, hai unha relación moi estreita entre a vorticidade eo campo de movemento definido pola ecuación integral de Tompson-Wu. Esta relación ten un gran valor xa que nos permite avaliar o campo do movemento do campo da vorticidade, que é nulo na maior parte do dominio. A ecuación de Tomson-Wu aplicada aos segmentos de vórtices en fluídos non viscoses adquiren a forma da ecuación de Biot e Savart (lei de Biot-Savart). Estas ecuacións están empregadas en varios métodos aerodinámicos como o “método instacular de Mesh Vortex”.