É moi probable que o teorema de Pitágoras sexa o resultado máis importante das antigas matemáticas clásicas. Unha rápida procura en paisaxes matemáticas conduce a varios artigos nos que se trata de diferentes ángulos. En particular, algunhas das súas manifestacións clásicas son discutidas aquí, aquí, aquí, aquí, aquí, aquí e aquí.
o bolo de O logotipo deste artigo representa outra das probas máis famosas (faga clic na imaxe da esquerda para activar o vídeo correspondente). Entre todo, este é o que máis me gusta, non só pola súa sinxeleza senón tamén por razóns sentimentais. Como adoita suceder, o meu profesor de Liceos nunca explicou o motivo do teorema, pero só o reduciu a unha fórmula alxebraica útil (?) Para calcular a lonxitude dun lado dun triángulo rectángulo dos outros dous (e así sentirse feliz para resolver adecuadamente un exercicio de rutina nalgún exame …) Esta demostración apareceu nun libro de historia de matemáticas que, afortunadamente, chegou ás miñas mans e espertou a miña paixón pola xeometría.
End, creo que todos os que son Apasionado sobre as matemáticas podemos relacionar unha historia similar e, ao pasar, para confirmar este diagnóstico sobre ensinalo na escola. Algo diso é mencionado neste artigo, así como na súa resposta, na medida en que se refire específicamente a xeometría. O meu obxectivo aquí non é entrar de novo nesta discusión (dos cales xa se dixo moito neste sitio, aínda que podería dicirse moito máis), pero refírense específicamente a unha demostración moi pouco convencional do teorema. Para motivarlo, unha pregunta a ” inxenuada ”:
Cantos espectáculos existen o teorema de Pitágoras?
A resposta (intencionalmente evasiva) é: moitos máis que os que adoitan ser eles ensinado. Unha compilación notable aparece no libro A proposición pitagórica, traballo (en inglés) de Elisha Loomis que data de 1927 e contén nada menos que 256 manifestacións diferentes (algúns un pouco “cuestionables” porque requiren un coñecemento demasiado avanzado, por exemplo o Último, que necesita xeometría hiperbólica). Entre eles, hai algúns que a miúdo atribúense a personaxes connotados de ” ” veces ”, como Leonardo da Vinci, Benjamin Franklin e Albert Einstein (aínda que estas atribucións tamén son cuestionadas polos eruditos da materia).
Un compendio máis interactivo (tamén en inglés) é este blog, que xa ten máis de 120 manifestacións diferentes. Proba número 117 deste sitio – desde a miña autoría 2016 e, despois de revisar moita bibliografía sobre o tema, podo afirmar sen medo de que sexa totalmente orixinal.
A idea do argumento naceu Buscando información sobre o teorema de Internet para preparar un chat para estudantes Liceo. Nunha páxina (que, por desgraza, non puiden cambiar de reubicación) atopei imaxes deste tipo.
Se Lembro ben, estes foron acompañados dunha pregunta natural:
é a suma das áreas das cifras das cortinas iguais á área da figura sobre a hipotenusa?
É posible que a resposta non sexa tan evidente para un estudante de Liceum; Mesmo, pode – por precaución: un matemático profesional necesita un longo segundos antes de responder. E estamos tan afeitos a “memorizar” e “repetir” o teorema como resultado válido para ” cadrado ” (construído nos lados) que cambiar as figuras (triángulos, pentagons, etc.) Pode desencadear un Bloque intelectual. Con todo, un momento de reflexión dinos que a área destas figuras é proporcional á das prazas, cunha constante de proporcionalidade que só depende da forma ” da figura. Dita constante non é outra que o valor da área desta cifra cando se leva a un tamaño de tal forma que está baseada nun segmento de lonxitude 1, cubrindo exactamente o seu longo. De feito, a figura non é necesariamente poligonal: pode ter curvas, siluetas, etc. Pode incluso ser o dun hipopótamo!
O teorema de pitagórico para hipopótamos: a suma das áreas dos hipopótamos no Os catechs son iguais á área de hipopótamo na hipotenusa (este último tamén se chama “hipotenupotamus” en algúns círculos pitagóricos modernos …)
Recíprocamente, debería ser Evidente que para calquera outra figura sobre os lados do rectángulo do triángulo (hipopótamos, semicírculos, pentágonos regulares, triángulos equiláteros, etc.), a igualdade entre a área de que se erguida sobre a hipotenusa coa suma das áreas destes Sobre os catechs implica a validez do teorema de Pythagorer convencional (para os cadrados).De feito, basta con multiplicar cada membro desta igualdade pola constante adecuada para volver ás áreas dos cadrados respectivos.
Pode dar a si mesmo unha proba “directa” para calquera destas igualdade, iso é, un argumento que non pasa por mor do feito de que xa coñecemos o teorema clásico? Se son figuras de contorno arbitrario, isto parece moi improbable. Con todo,
neste video e neste (tanto en inglés) atoparás discusións simpáticas sobre esta demostración (que a miúdo atribúese a Einstein …) que está baseado nunha idea deste tipo. Neste caso, as cifras consideradas en cada lado son copias do triángulo orixinal.
Se contemplamos o caso de polígonos regulares erigidos nos lados do noso triángulo orixinal (como se ilustra arriba), é posible dar argumentos directos de probas. A continuación presente un para o caso de triángulos equiláteros que van no espírito das manifestacións máis clásicas do teorema. Como estamos no século XXI, en vez de transcribilo, déixoo en forma de vídeo. Se é necesario, os detalles aparecen no texto semi-separado aquí.
E así é como, a mediados do século XXI, aínda pode contribuír a unha nova das matemáticas da antiga Grecia: unha nova proba de Un teorema de antigüidade de 2500 anos de idade! (E quizais moitos máis).
refrescante, non?
Problema 1: o que exposto neste artigo pode ser complementado co teorema de equigoping de Wallace-Gerwien-Bolyai, magníficamente desenvolvido en Este artigo. Ao ler isto, aprenderá que se as figuras poligonales semellantes son erigidas nos lados dun triángulo rectangular, entón aqueles que están nos cateques poden ser cortados en pezas poligonales que, rensamblined, cobren exactamente a figura da hipotenusa. Implementa isto por cifras que son pentágonos regulares, rectángulos de URE, triángulos equiláteros, etc.
Problema 2: Se nun triángulo rectángulo os semicírculos están deseñados con diámetro a hipotenusa e os catenos, o primeiro en e os dous Segundos fóra, entón as rexións incluídas entre eles chámanse Hipócrates Lúbla. Unha propiedade fundamental (que verificará rapidamente usando o teorema de Pitágoras) é que a suma das súas áreas é igual á do triángulo orixinal.
Pregunta: Cando son figuras similares as dúas lunnulas?
A suma das áreas dos lunlables (en Celeste) é a mesma A área orixinal do triángulo rectángulo (en azul).