A matriz jacobiana é unha matriz formada pola primeira orde derivados parciais dunha función. Unha das aplicacións máis interesantes desta matriz é a posibilidade de aproximarse linealmente á función nun punto. Neste sentido, o jacobiano representa a derivada dunha función multivariante.
Debemos falar máis que a matriz jacobiana, a aplicación diferencial de jacobiana ou a jacobiana, xa que a forma da matriz dependerá da base ou coordenadas elixidas É dicir, dadas dúas bases diferentes a aplicación lineal jacobiana terá compoñentes diferentes mesmo no caso do mesmo obxecto matemático. A propiedade básica da “Matrix” de Jacobian é a seguinte, dada unha aplicación ou f: r n → r m {\ displaystyle \ mathbf {f}: \ mathbb {r} {r} \ to \ mathbb {R} {m} }
continuo , é dicir, f ∈ c (k) (rn, rm) {\ displaystyle \ mathbf {f} {{\ mathcal {c}} ^ {(k)} (\ mathbb {r} ^ {n}, \ mathbb {r } m)}
Dixerase que é diferenciable se hai unha aplicación lineal λ ∈ l (RN, RM) {\ displaystyle {\ Boldsymbol {\ lambda}} \ in {{\ lambda}} (\ mathbb {r} un, \ mathbb {r} m)}
tal que:
(1) lim ‖ x – e ‖ → 0 ‖ (f (x) – f (y)) – λ (x – y) ‖ ‖ x – e ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim \ \ mathbf {e} \ | \ a 0} {frac {\ | (\ mathbf {F} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {f} (\ mathbf {and})) – {\ dolustsymbol {\ lambda}} (\ mathbf {x} – \ mathbf {and}) \ |} {\ | \ mathbf {x } – \ mathbf {e} \ |}} = 0}
Scalate Function
Comecemos co caso máis sinxelo dunha función escalar F: RN → R {\ displaystyle \ scriptstyle f: \ mathbb {R} n \ to {r}}
. Neste caso, a matriz jacobiana será unha matriz formada por un vector de liña que coincide co gradiente. Se a función admite derivados parciais para cada variable pódese ver que é suficiente para definir a “matriz” jacobiana “como:
λ (x): = ∇ f (x ) = {\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}} (\ mathbf {x): = {\ \ backsymbol {{x}) = {\ begin {bmatrix} {\ cFraC {\ parcial f (\ mathbf {x}) } {\ Parcial x 1}} & \ lDOTs & {\ CFRAC {\ parcial f (\ mathbf {x})} { \ Parcial xn}} \ end {bmatrix}}}
desde entón cumprirase a relación (1), polo que neste caso a “matriz jacobiana” é precisamente o gradiente.
Funcionamento de vectores
Supoñamos F: RN → RM {\ displaystyle \ Mathbf {f}: \ mathbb {r} ^ {} \ a \ mathbb {r} m}
é unha función que vai dende o espazo euclídeo n-dimensional a outro espazo euclídeo mimensional.Esta función está determinada por funcións Scalar Real:
yi = fi (x 1, …, xn), y = f (x) = (f 1 ( x), …, f m (x)) {\ displaystyle y_ {i} = f_ {i) (x 1, ldots, xn), \ qquad \ mathbf {and} = \ mathbf {f} (\ Mathbf {x}) = (f 1 (\ mathbf {x), \ dots, fm {m} (\ mathbf {x}))}
cando a función anterior é diferenciable , entón os derivados parciais destas funcións M pódense organizar nunha m por n matriz, a matriz jacobiana de F:
{{\ CFRAC { \ RELLAN {BMATRIX} {\ parcial x_ {1}} {\ parcial x_}} & \ cdots & {\ cFraC {\ parcial y_} {\ parcial xn}} \\\ vDots & \ ddots & \ vdots \\ {\ cFraC {\ parcial e {m}} {\ parcial x 1}} & \ cdots & {\ cFraC {\ parcial y μl}} {\ Parcial x_ {n}}} \ end {bmatrix}}}
Esta matriz Ten en conta de diferentes xeitos:
jf (x 1, …, xn), ou ∂ (e 1, …, ym? ) ∂ (x 1, …, xn), ou df (x 1, …, xn), or ∇ f (x 1, …, xn) {\ displaystyle j \ mathbf {f}} ( X 1, \ lDots, xn), \ qquad {\ mbox {or}} \ qquad {\ frac {\ parcial (y_ {1, ldots, y ™)} {\ parcial (x 1, ldots, xn) }}}} \ Qquad {{ou}} \ qquad d {f} (x 1, ldots, x_ {n}), \ qquad {\ mbox {or}} \ qquad \ nabla {{{\ \ writsymbol {\ mathbf {f}}} (x1}, ldots, x_ {n)}
Teña en conta que a I-esta fila coincidirá co gradiente do Función Yi, por todo i = 1, …, m.
Se P é un punto de RN e F, é diferenciable en P, entón a súa derivada é dada por JF (P). Neste caso, a aplicación lineal descrita por JF (P) é a mellor aproximación lineal preto do punto P, deste xeito:
f (x) ≈ F (p) + jf (p) (xp) {\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) \ aprox. {Mathbf {f} (\ mathbf {q) + j _ mathbf {f}} (\ mathbf {}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {})}
para x preto de p. Ou con máis precisión:
lim ‖ x – p ‖ → 0 ‖ f (x) – f (p) – jf (p) (x – p ) ‖ ‖ X – p ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim \ \ mathbf {} \ | \ a 0} {frac {\ | \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {f} ( \ mathbf {}) -jp {\ mathbf {f}} (\ mathbf {}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {}) \ |} {\ | \ mathbf {x} \ mathbf {p} \ | }} = 0}
En determinados espazos vectoriais de dimensión non finita, formado por funcións, o concepto de matriz jacobiana pode ser xeneralizado definindo unha aplicación jacobiana lineal.
Exemplo exemplar
Exemplo 1. A matriz jacobiana da función F: R3 → R3 definida como:
f (x 1, x 2, x 3) = (x 1, 5 x 3, 4 x 2 2 – 2 x 3) {\ displaystyle F (x 1, x2, x 3) = (x 1, 5x 3, 4x 2 2 -2x 3)}
é:
jf (x 1, x 2, x 3) = {\ displaystyle j_ {f} (x_ 1, x2, x_3) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8X_ {2} & -2 \ end {bmatrix}}}}
Non sempre a matriz jacobiana é cadrada. Vexa o seguinte exemplo.
Exemplo 2.Supóngase la función F: R3 → R4, CUYAS compoñentes Fillo:
y 1 = 1 / x 1 {\ displaystyle y_ {1} = 1 / x_ {1} \;}
y 2 = 5 x 3 {\ displaystyle y_ {2} = 5x_ {3} \,}
y 3 = 4 x 2 2 – 2 x 3 {\ displaystyle y_ {3} = 4x_ {2} ^ {2 } -2x_ {3} \,}
y 4 = x 3 sin (x 1) {\ displaystyle y_ {4} = x_ {3} \ sin (x_ {1}) \,}
aplicando la Definición de matriz jacobiana:
jf (x 1, x 2, x 3) = =. {\ displaystyle j_ {f} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ parcial y_ {1}} {\ parcial x_ {1}}} & {\ dFRAC {\ parcial y_ {1}} {\ parcial x_ {2}}} & {\ dFrac {\ parcial y_ {1}} {\ parcial x_ {3}}} \\ {\ dFFRAC {\ parcial y_ {2}} {\ parcial x_ {1}}} & {\ dfrac {\ parcial y_ {2}} {\ parcial x_ {2}}} & {\ dffrac {\ parcial y_ {2}} {\ parcial x_ {3}}} \\ {\ dffrac {\ parcial y_ {3}} {\ parcial x_ {1}}} & {\ dfraC {\ parcial y_ {3}} {\ parcial x_ { 2}}} & {\ dFFRAC {\ parcial y_ {3}} {\ parcial x_ {3}}} \\ {\ dffrac {\ parcial y_ {4}} { \ parcial x_ {1}}} & {\ dfrac {\ parcial y_ {4}} {\ parcial x_ {2}}} & {\ dFFRAC {\ parcial y_ {4}} {\ parcial x_ {3}}} \\\ {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -1 / x_ {1} ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & -2 \\ x_ { 3} \ Cos (x_ {1}) & 0 & \ sin (x_ {1}) \ end {bmatrix}}. }
