A análise do postulado dos paralelos de Euclides chegou a converterse nunha obsesión polo mozo Janus, ata o punto de que o seu pai escribiu advertindolle aviso:
“por amor de Deus, pregúntovos, esquece-lo. Temelo como paixóns sensuais, porque o mesmo que eles, pode chegar a absorber todo o tempo e privar-se do seu saúde, paz de espírito e felicidade na vida. “
jános, con todo, persistiu na súa busca e finalmente chegou á conclusión de que O postulado é independente dos outros axiomas de Euclid e ideou diferentes xeometrías consistentes construídas a partir da denegación do postulado.
Despois do seu descubrimento, escribiu ao seu pai: “Eu creei un mundo novo e diferente de Nada. “
Entre 1820 e 1823 preparou un tratado sobre un sistema completo de xeometría non euclidiana. O traballo de Bullyai foi publicado en 1832 como un apéndice dun libro de texto de matemáticas do seu pai.
En 1848 Bullyai descubriu que Lobachevski publicou un traballo similar en 1829 (tres anos antes), aínda que era menos xeral que O seu e só contiña o desenvolvemento da xeometría hiperbólica. Bullyai e Lobachevski non se coñeceron, e non tiñan novidade das súas respectivas obras. Non obstante, esta situación resultou que os seus logros matemáticos non foron merecidos. O seu pai envioulle unha carta a Gauss coa obra de János, eo matemático alemán respondeu que non podía elogiar este traballo sen elogiar a si mesmo, porque mantivo puntos de vista similares durante moitos anos, aínda que non publicara. Aínda que en cartas a outras matemáticas Gauss recoñeceron o prominente xenio de Boylai (ao ler o apéndice escribiu a un amigo dicindo: “Considero este novo xeometro Bolyai como un xenio de primeira orde”), a persistente falta de recoñecemento público desencadeou irremediablemente a Temperamental János Bleilleyai, que nunca continuou a súa carreira como matemático.
Ademais do seu traballo en xeometría, bullyai desenvolveu un rigoroso concepto xeométrico de números complexos como pares ordenados de números reais. O descubrimento que fixo que unha xeometría alternativa contribuíu algunhas décadas despois do establecemento da estrutura relativista do universo e axudou aos matemáticos a estudar conceptos abstractos independentemente de calquera posible relación co mundo da física.
En 1833, Afectado con febres, tivo que retirarse da súa carreira militar, desde entón dedicándose á investigación matemática. Morreu de pneumonía, o 27 de xaneiro de 1860 en Marosvárhely, Hungría. Aínda que nunca lanzou máis que as 24 páxinas do apéndice, deixou máis de 20.000 páxinas de manuscritos matemáticos cando morreu. Estes agora poden atoparse na Bullyai-Teleki Librería de Marosvárhely (hoxe Târgu Mureş).