A definición depende de se está a traballar en tempo discreto ou continuo. Veremos que para a función da utilidade crra, os dous enfoques dan a mesma resposta. Os seguintes formularios funcionais supoñen que a utilidade do consumo é aditivamente separable ao longo do tempo.
Tempo discretoDeditar
A utilidade total sobre unha vida é dada por:
u = σ t = 0 t β you (ct) {\ displaystyle u = \ sum ^ {t = 0} ^ ^ β ^ {t} u (c_ {t) β ^ {t} u (c_ {t)}
Neste contexto, a taxa de interese real é dada a partir da seguinte condición:
qu ‘ (ct) = q β ru ‘(ct + 1) {\ displaystyle q’ (c_ {t + 1})
unha cantidade de diñeiro q {\ amosar q}
custos investidos hoxe qu ‘(ct) {\ displaystyle q’ (c_ {t)}
Unidades de utilidade, polo que deben dar o paso exactamente ese número de unidades de utilidade no futuro cando se garda na taxa de interese bruto que prevalece R {\ displaysty r}
. (Se había máis, entón o axente podería facerse mellor para aforrar máis.)
Resolución da taxa de interese real, vemos que
r = u ‘(ct) β u’ (ct + 1) {\ Displaystyle r = {\ frac {u ‘(c_ {t)} {\ beta u’ (c_ {t + 1})}}}
en logaritmos, temos
r = r = – ln – ln β {\ left} – \ ln {\ beta}}
Os rexistros están moi preto das variacións porcentuais, polo que podemos interpretar r como taxa de interese neto como o 5%, mentres que R é a taxa de interese cru correspondente como 1,05.
A elasticidade de substitución intertemporal defínese como o cambio porcentual do aumento do consumo por cento de aumento da taxa de interese neto:
∂ ln (ct + 1 / ct) ∂ r {\ displaystyle {\ crac {\ parcial \ ln ( C_ \ t + 1} / c_ {t)} {\ parcial r}}}
substituíndo na ecuación de rexistro anterior, podemos ver que esta definición é equivalente á elasticidade do consumo crecemento con respecto ao crecemento da utilidade marginal:
– ∂ ln (ct + 1 / ct) ∂ ln (u ‘(ct + 1) / u’ (ct)) {\ displaystyle – {\ c -1} / c_ {t})} {\ parcial \ ln (u ‘(c_ {t + 1}) / u’ (c_ {t))}}}}
