Formación Universitaria – Vol. 6 (2), 23-32 (2013)
Artigos
A secuencia de Fibonacci eo número de ouro en Enxeñaría Eléctrica e Análise numérica
A secuencia de FIBONACCI ea sección de ouro en Enxeñaría Eléctrica e Análise numérica
Carlos Figueroa (1), Lamberto Castro (2), Jesús R. Fox (2), Manuel Lozano (2)
(1) Universidade de Sonora, División de Enxeñaría, Departamento de Enxeñaría Industrial, Unidade Rexional Av Center. Rosales e L. Encinas, Col. Center. CP. 83500. HERMOSILLO, Sonora, México. (Correo electrónico: [email protected])
(2) División da Universidade de Sonora, Ciencia e Enxeñaría, Departamento de Física, Matemática e Enxeñaría, Unidade Rexional do Sur. Lázaro Cárdenas No. 100. C.P. 85880, NAVOJOA, SONORA, MEXICO
Resumo
Este artigo pretende desenvolver solucións alternativas a dous problemas diferentes que conteñan a relación Aurea: 1) nun circuíto eléctrico con resistencias Ohmic infinitas que ten Unha solución inductiva da secuencia de fibonacci eo resultado tamén se corroborou usando fraccións continuas; e 2) Na formulación newtoniana para o deseño dun cono truncado de resistencia aerodinámica mínima, proponse unha solución numérica para probar a bondade do modelo. Ambos exercicios teñen poder didáctico en temas como a enxeñaría eléctrica, a mecánica vectorial, a análise numérica e a álxebra superior. O traballo representa unha axuda no estudo das cuestións asociadas á consecución das habilidades matemáticas.
Palabras clave: Aurea Razón, serie Fibonacci, escaleira semi-infinita, resistencia aerodinámica.
Resumo
Este artigo afirma desenvolver solucións alternativas a dous problemas diferentes que conteñan a sección de ouro: 1) Nun circuíto eléctrico infinito resistencia Ohmic este traballo proporciona unha solución inductiva pola secuencia de fibonacci e os resultados son corroborados usando fraccións continuar; e 2) no deseño dun frustum dun cono con resistencia aerodinámica mínima a solución numérica proponse comprobar a bondade do modelo. Ambos exercicios teñen poder didáctico sobre temas como a enxeñería eléctrica, a mecánica vectorial, a análise numérica e a álxebra avanzada. Este artigo representa a contribución ao estudo dos suxeitos asociados a mellorar as habilidades matemáticas.
Palabras clave: sección de ouro, secuencia de fibonacci, escaleira semi-infinita, resistencia aerodinámica.
Introdución
existe na ciencia contemporánea unha corrente de investigación sobre a secuencia de fibonacci e a razón da Aurea. As súas principais manifestacións son o foro: Conferencia Internacional sobre números de Fibonacci e a revista The Fibonacci de Quaterly; Ademais, está dispoñible na literatura especializada dun conxunto de traballos, onde moitos produciron grandes explotacións científicas de física e matemática -Exemplo Esta é a relación coa dimensión fractal de Mandelbrot ou a continua fracción de Ramanujan. Sobre o tema das súas aplicacións, un dos autores máis entusiastas é Stakhov (2005), menciona específicamente o seu uso en ciencia e enxeñaría.
Stakhov, establece e xustifica unha nova visión que chama a matemática harmónica, inclúe a teoría de números, teoría de funcións hiperbólicas baseadas en números de Fibonacci, así como matrices auréais; Pero o máis interesante, sinala que esta nova teoría é a fonte de creatividade en Botánica, Bioloxía, Informática, Enxeñaría de Sistemas en Comunicación, Educación en Matemáticas e na teoría da física das altas enerxías. Pero independentemente das consideracións de Stakhov, houbo resultados históricos abundantes como a xeometría de obxectos de anura, cuaternarios, números complexos e, por suposto, a dimensión fractal. Obxectos como bonecas matriuskan, que se axustan a un dentro doutro, exemplifican fractales; O matemático Benito Mandelbrot acuñou o prazo de 1975, que constitúe un concepto de capital en xeometría e en sistemas extremadamente irregulares coñecidos como Chaos. Os fractales representan un intento extraordinario de describir formas do mundo real, Livio (2006). O seguinte describe a súa relación co número de ouro normalmente representado como ø = 
A relación entre o número de sub-obxectos N, o factor de redución ƒ e a dimensión D é
Walser Hans (2001) presenta a relación entre a natureza e os fractales; Ademais, a partir da construción dunha árbore acordada, determina a súa dimensión resultando en 1.4404, é dicir, non é un número enteiro, senón un número irracional.Para a árbore de aureum 
está satisfeito 2 = ød, entón é fácil ver que
Ademais de Walser a través dunha xeometría de Aurea ilustra rectángulos, outros polígonos, elipses, poliedros e relacións trigonométricas xeradas alí.
Os cuaternarios son os números hipercomplexios que significan deixar o plano complexo e construír espazo 3D Complexo, un feito que xera novas álxebras como Clifford. Serpil Halici, (2012), sinala a existencia de Quaternions Fibonacci. É dicir, hai relacións da variable complexa con secuencia de fibonacci.
Algúns matemáticos consideran que unha familia de números con propiedades comúns, por exemplo, ten similitudes ao demostrar matemáticamente a súa irracionalidade, utilizando o cálculo infinitesimal, HUYBLEBOUCK (2001) ); Son os chamados números metálicos ou poemas, o que significa PTH orde extrema media. O distinguido irracional a partir dese conxunto é o número de Euler E, Zeta de Riemann ζ e π. Dos números de metal, a prata “DIV id =” 49E0D007FD “> e o bronce 
, xorden a partir dunha forma de xeneralizar a secuencia de Fibonacci. Como irracional son, poden ser representados en fraccións infinitas continuas; A principios do século XX, Srinivasa Ramanujan atopou unha expresión que inclúe ø, π π que
por outra banda Man, no mundo da física a relación con certos fenómenos é abundante. Por exemplo, en estudos de procesos de desintegración, que varían de sistemas de equilibrio a non equilibrio, como o caso de diminución das poboacións, a desintegración das rocas ou as desvalorizacións monetarias, están formuladas cun mecanismo chamado diminumions acumulativos, como buyukkhc e dimirhan ( Punto de 2008); Eles no seu traballo utilizan os chamados conxuntos de canto, o que levan a unha dimensión fractal. Dito método, forma unha teoría que demostrou a súa utilidade en física de alta enerxía.
En cosmoloxía e astronomía o número de ouro é mencionado na estrutura do universo, a magnitude do sistema solar e do Saturno Rings, Bennett (1999) tamén se informa na relación das radios da Terra e do Sol entre outros. Na mecánica cuántica, preséntase na proporción de frecuencias dun par de osciladores harmónicos como mostra por Bleher (1990). Tamén en física de estado sólido e cristalografía, atopáronse materiais como o manganeso de aluminio, con ambas estruturas moleculares ambiguas, que non son amorfas ou periódicas, chámanse cristais quasi; Estes teñen a súa explicación física nun modelo matemático baseado nunha configuración de Aurea, como os mosaicos de Penrose, Livio (2006). Doutra banda, a súa presenza tamén foi verificada no factor Landé do magnetismo. A continuación explícase o caso das estruturas ocultas chamadas Grupo E8.
No magnetismo hai obras como a de Affleck (2010) e fóra de liña (2010) informando a razón dourada en materiais magnéticos compostos, xa que nunha colección de partículas de estados vinculados que a masa é reducida. O cálculo dos estados relativistas inclúe rotacións próximas á velocidade da luz dada en termos de E = MC2 .Dado que merece unha análise relativista, a determinación da relación masiva é un problema importante. Unha alternativa é por métodos de teoría cuántica dos campos. En sistemas de baixo dimensión hai solucións exactas. Auto informa resultados dun experimento co material de cobalto de niobate C0NB2O6 onde hai un motivo de masa en termos do número de ouro. Estes están relacionados coas estruturas chamadas E8 (oculto), un dos máis excepcionais e interesantes dos chamados grupos de Lie. O experimento de abandono demostrou a proporción de masa de dúas baixas enerxías de cobalto de cobalto de niobate, que se achega ao ratio de Aurea. O experimento corroborou os resultados do cálculo baseado no cuántico de campos e considerando un sistema de dimensión, determinouse a solución exacta.
Con todo, hai autores como Falbo (2005) e MarkOwsky (1992), Teñen un punto de vista diferente porque dubidan das calidades desproporcionadas asignadas ao número de ouro. Aquí hai declaracións como MarkOWSky que di: “As propiedades matemáticas xeralmente están declaradas correctamente, pero moitas veces aquelas presentadas en arquitectura, literatura e estética son falsas ou engañosas”. El di que forxou varios mitos que se repiten moitas veces e sinala erros na historia do número de ouro, así como certos patrimonios arquitectónicos e artísticos como a gran pirámide de Egipto, o Partenón de Grecia ou a Un edificio da ONU en Nova York, pinturas de Leonardo da Vinci, non presentan as dimensións de Olustease. Do mesmo xeito, Falbo refírese a unha especie de “culto” ao número de ouro.Tamén demostra como en certos casos, a afirmación de que a proporción de ouro ten un lugar especial entre os números, aínda que como unha descrición válida da natureza non é compatible. Ademais, refuta a idea de que é frecuentemente presentado en arte e arquitectura. Por exemplo, ao tomar medidas, considera que non hai ningunha base para dicir que o número de ouro está reproducido naturalmente en cunchas. En particular, non hai ningunha base para afirmar que se presenta no Nautili. Tamén discute o seu desacordo con Mario Livio que a razón da Aurea é “o número máis sorprendente do mundo”.
Con todo, a materia pode ser plausible se se refire ao traballo de Stakhov, onde o dereito A cousa é pensar na serie Fibonacci como principio xeral que se pode abrir a aplicacións tecnolóxicas específicas e específicas. O noso traballo trata dous problemas que poden axudar na docencia da matemática e da física, ademais de ter efectos tecnolóxicos. Sábese que unha escaleira semi-infinita de resistencias en serie e en paralelo, ten aplicación na metrología dixital; E con respecto aos estudos de resistencia aerodinámica, realízanse na industria automotriz e aeroespacial.
Analizouse un exercicio de texto de física popular, o problema dos circuítos eléctricos tipo escaleira ou tamén a semi-escaleira Resistencia infinita. Este caso é tratado en infinidade de libros como M. Alonso e E. Finn (1967), e a de problemas para os Xogos Olímpicos da Física (2007). Tamén na literatura especializada, Wörner (1999) obras cuxa obra usa fraccións continuas, ademais de determinar elegantemente as tensións de todo o circuíto. Do mesmo xeito, Sanjinés (2010) presenta solucións utilizando a representación da matriz da frecuencia de Fibonacci eo cálculo dos eigenvalues. Ambos traballos son formas novas para resolver o mesmo problema. Aquí a nosa tarefa de circuíto con infinito serie e resistencias paralelas engade unha análise inductiva baseada na serie Fibonacci, tamén pode comparar esa solución coas fraccións continuas utilizadas por Wörner.
de inmediato, en base aos traballos de Cruz et.Al. (2010), onde o forte cono truncado da mínima resistencia aerodinámica está determinado aplicando unha solución alxébrica, os seus principais resultados que requiren unha análise previa que se presentan, xa que o traballo dese grupo de investigación contén un conxunto de manifestacións que poden enriquecer leccións de mecánica vectorial e álxebra superior; A nosa contribución trata de complementar estas análises cun tratamento numérico usando MATLAB. A análise xérase para un cono de dimensión particular, baseado nos resultados calculados por ese grupo, co obxectivo de facilitar os cálculos a través do uso do MATLAB.
Nelly Amethyst León Gómez (2006), refírese a O estudo de temas como a criptografía ou a teoría dos números, que pode dar aos alumnos a oportunidade de achegarse ás matemáticas dun peso lixeiro, motivar a busca de coñecemento. Os problemas aquí tratados e discutidos poden expresarse de forma didáctica e conseguir ese propósito.
Desenvolvementos matemáticos
Aurea Razón e secuencia de Fibonacci
Walser é un dos Os autores que mellor demostran os conceptos. Se a relación de segmento máis pequena defínese entre un maior ten a ecuación de segundo grao
con raíces tales que
A lonxitude debe ser positiva, polo tanto, é elixido x1. Walser usa o recíproco deste como a razón dourada. Da ecuación cuadrática e ambas raíces, obsérvanse moitas propiedades que se poden empregar para obter outros resultados. Por exemplo, se
ten que
O último pode ser xeneralizado en
Aplicando linearización de poderes obtéñense no coeficientes de linearización números de fibonacci, como
que satisfaga a relación de recorrencia
Se os valores iniciais como A0 = 1 A1 = 1 están definidos 1,1,2,3, 5,8,13,21, 34,55 .. . Isto pode ser xeneralizado de varias maneiras.
Finalmente da ratio sucesiva dos números de Fibonacci, pódese obter o valor límite
Circuíto eléctrico de resistencias infinitas en serie e en paralelo.
Na figura 1 un circuíto descríbese cunha cantidade infinita de resistencias de igual valor A. Pódese probar que o O circuíto equivalente está no formulario REQ = ør.
fig.1. Circuíto eléctrico de resistencias infinitas.
Para unha primeira manifestación indutiva, baséase nun circuíto de só 3 mallas, tal circuíto está configurado para figurar 2a.
Fig. 2A.circle con 3 mallas.
Fig. 2b. A última malla ten dúas resistencias de series que están en paralelo ao seu adxacente.
Na Figura 2B, a fórmula de resistencia equivalente aplícase para circuítos paralelos, de tal xeito que
Por outra banda, o circuíto resultante móstrase na Figura 3A:
Fig. 3a. O mesmo proceso obsérvase: dúas resistencias en serie (R + 2/3 R), que son paralelas ao adxacente.
Fig. 3b. Nova configuración resultante.
A figura 3B permítelle determinar outra resistencia equivalente do formulario
o Proceso para resolver o problema de tres mallas, duras as seguintes configuracións.
fig.4. Resistencia equivalente para tres mallas.
Aplicando a solución a este último é alcanzado
nun circuíto de Catro mallas A solución é req = 21/13 R. A presenza da serie Fibonacci é identificada Wörner fai unha demostración baseada en fraccións continuas, utilizando o feito de que todo o número irracional pode ser representado como unha fracción infinita continua, de tal xeito que o O número de ouro está escrito
para o caso do circuíto da Figura 3B pode expresarse como
e finalmente para o circuíto da Figura 4,
Unha manifestación máis formal realízase no libro de problemas olímpicos, alí proponse separar o circuíto en dúas seccións como se mostra na Figura 5.
Fig. 5. Outra forma abreviada para configurar o circuíto de resistencias infinitas.
A parte dereita da Figura 5 segue sendo unha colección infinita de resistencia e, polo tanto, é igual á cifra 1. Esta situación pode ser representada como na Figura 6. Polo tanto, pode considerarse como segue:
Fig. 6. Circuíto que contén na resistencia equivalente a todos os demais.
Unha nova variable como Re = R + req está definida. Considerando o lado dereito desta ecuación como a resistencia equivalente buscada, entón ten
que ao resolver este último é alcanzado req = Ø R. Falta a tarefa de buscar tensións e correntes en cada elemento de circuíto.
Resistencia que ofrece o movemento un cono truncado.
O problema aerodinámico de Newton para conos truncados, Do mesmo xeito que o do lado esquerdo da Figura 7, a solución ten unha agradable sorpresa e é que se pode demostrar, segundo Cruz et al. (2010), que o cono mínimo de resistencia é un que está construído con proporcións auréreas. Nese traballo hai unha función para representar a resistencia aerodinámica xa que se describe de xeito xeral.
Suponse que o cono permanece inmóbil e as partículas baixan con velocidade constante ν. En primeiro lugar, analizouse o caso dunha altura de cilindros de radio RY H, a figura do lado dereito 7, os momentos lineares antes e despois do choque será P1 = MV e P2 = MV.
Fig. 7. Cono truncado e cilindro, este último é máis sinxelo e sinxelo.
con v = v. Só as partículas que están a unha distancia menos que Vδt da base superior do cilindro poden chocar con ela a tempo δt. Que ρ é a densidade do medio e V é o volume do cilindro R-Radio e a altura Vδt. Os autores definen a Roccia como a resistencia do cilindro e demostran claramente que é dada por RCIL = 2πρv2r2.
Para o caso dun cono truncado de altura h con baixa radio radio radio x, as colisións poden ocorren na base superior e ao lado. Lado dereito da figura 8.
RS de resistencia ao mar na base superior e resistencia RC ao lado, entón a resistencia total R X será a suma de ambos R X = R S + RC.
Fig. 8. O resultado do cilindro é útil para resolver o cono truncado.
cando x = r ten a rc = 0, polo tanto, rr = risco; Ademais, usando o resultado dun cilindro, calcúlase nese traballo, que a resistencia da superficie é RS = 2πρv2x2.
Para obter a resistencia do lado RC, pódese observar como as partículas que chocan contra o lado do cono nun tempo δt son aquelas que están nun “cilindro” oco, como o de O lado esquerdo da Figura 8, cuxo volume é o mesmo que o cilindro oco de altura Vδt, desde o Radio Exterior Ry Radio Interior X. En consideracións similares ao primeiro caso, engadindo unha análise de álxebra e trigonometría básica, tal función que RC = 2πρ R2- X2 V2COS2A.
Cando se obteña RS e RC R2 = 2πρV2X2 + R2 – x2 cos2a.
Usando a proporción do coseno na figura 8,
tamén se k é Definido 2πρv2 entón ten a función de resistencia aerodinámica,
para buscar o cono truncado da resistencia mínima que ten que atopar a Valor mínimo de R (x) no rango 0 < x < r. É equivalente a atopar o mínimo de CE. (21). Para modificar un pouco a función engádese e restado a H2 no numerador é entón,
e, polo tanto, minimiza f (x ) para 0 < x < r é igual a maximizar
A nosa contribución agora pode ser suscitada, trátase de xerar un cono particular e poder facilitar o cálculo; Polo tanto, proponse unha solución co método gráfico. Da ecuación hai un caso de que H = R = 1, ao substituír a CE. (23), a función a derivar é
En primeiro lugar, o gráfico xérase en 0 < x < 1, como se mostra na figura 9, ten un Máximo entre 0,30 e 0,40. Ao derivar a CE. (24) e combinar cero, problema que equivale a buscar a raíz da ecuación derivada. Aplicando os comandos correspondentes MATLAB, obtense o cero da función.
Se a ecuación é gráfica (24) e ( 25), a súa validez obsérvase na Figura 10.
Fig. 9 gráfica dun máximo de preto de 0,40
Fig. 10. A raíz é observada por 0,40
para construír unha base de cono H e Radio R base, que ao truncalo a altura H produce un cono mínimo de resistencia, procedente segundo a Figura 11. É doado Determine que a altura H debe ser dada por
Se se realiza h = r, entón h = tr. Con 
.
Para o caso do cono de dimensión particular R = 1, H = 1, úsase para Figh 11, onde se pode ver como o A dimensión do rectángulo de aureum é consistente co caso particular. Polo tanto, o cono mínimo de resistencia ten dimensións de orixe. A Figura 12 mostra o rectángulo do caso particular proposto.
Fig. 11. Método de construción dun rectángulo de aureum.
Fig. 12. Rectángulo de aureum que probe a validez do método informado
Agora outra forma de corroborar o resultado é usar o ángulo dun rectángulo de agone, onde se pode observar que (90º – 58.28 °) = 1ø; A seguinte tarefa é demostrar o resultado sen MATLAB, é dicir, por análise alxebraica.
Discusión dos resultados
dos resultados analizados por cada problema, unha análise complementaria dos autores consultados obtense. No circuíto da escaleira semi-infinita da resistencia ohmic, a solución inductiva pode conectarse co uso da representación en fraccións continuas que fai Wörner. Na solución do problema olímpico, as ligazóns a proba, principalmente ao construír a ecuación de segundo grao. Tamén é posible resolver o problema se ten unha fonte de tensión. Noutras referencias hai tales tratamentos. O cálculo da enerxía e a intensidade está pendente en todo o circuíto.
No problema do cono truncado da resistencia mínima, preséntase unha análise baseada no método de Jaime Cruz Sampedro. A nosa contribución proba a validez da proposta aplicando o seu resultado a un caso particular, isto permítenos facilitar o cálculo da derivada; Ademais, fai que sexa posible gráficamente e verifique a través dunha tarefa numérica a veracidade das fórmulas consultadas. É importante neste caso levar a cabo todas as manifestacións xeradas no traballo de consulta, xa que constitúe unha lección exemplar. A tarefa que falta é probar a ecuación (21), (22) e (23) por un camiño diferente.
Conclusións
A diverxencia das ideas entre Falbo, MarkOwsky e Stakhov, teñen Efectos positivos no estudo da materia porque o anterior conseguiu tirar o halo máxico atribuíbel; Non obstante, é desexable que a fundación das matemáticas harmónicas, que implica un gran desafío.O noso traballo intenta demostrar o crecente papel da secuencia de Fibonacci na didáctica da física e as matemáticas dun xeito agradable, polo tanto, os dous problemas son considerados útiles neste contexto. O problema do circuíto pode ser ampliado, facendo outras configuracións de escaleiras semi-infinitas de capacitores ou cálculos de tensión. Para o caso da aerodinámica, o noso enfoque está baseado no gráfico e derivado resolto. A nosa colaboración é demostrar o resultado consultado. O valor que maximiza a función está incluído ao debuxar un rectángulo de aureum. A nosa análise ten un valor demostrativo con uso de software. É necesario aclarar a posibilidade de deixar o contexto newtoniano e explorar outros métodos. Finalmente, non ignore os comentarios das habilidades matemáticas formativas implicadas nos dous exercicios e as oportunidades que abertas a invitar a explorar marabillas como os fractales de Mandelbrot eo legado de Ramanujan.
Referencias
Affleck I., proporción de ouro visto en magnética. Natureza 464, 362-363 (2010).
Alonso M. e Finn E., Física Universitaria Fundamental, Vol. 2, Addison-Wesley (1967).
Benett A., PHI: o número de ouro (en liña) 1 de agosto de 2012, http://www.goldennumber.net/quantum-time. PHI Point Solution, LLC. Estados Unidos (1997).
Bleher P.M., o nivel de enerxía para dous osciladores harmónicos con ratio media de frecuencias de ouro. Xornal de Física Estatística. 61, 3-4, 869-876 (1990).
buyukkhc F. e Dimirhan D., diminumacións acumuladas con enfoque de Fibonacci, sección de ouro e física. INT. J. Theor Phys (2008) 47, 606-616 (2008).
Scolde R. et al., Criticidade cuántica nunha cadea ising: evidencia experimental para a simetría de E8 emerxente. Ciencia 327, 177-181 (2010).
Cruz J. e Tetlalmatzi M., poema e frustum aerodinámico de Newton. The College Mathematics Journal 41, 2, 145-152 (2010).
Falbo C., a proporción de ouro ao punto de vista contrario. Matemáticas universitarias. J. 36 123-134 (2005).
Halici S., en quaternions de fibonacci complexos. ADV. Aplicación. Álxebras de Clifford. Xuño (2012).
HUYEBROUCK D., semellanzas en probas de irracionalidade para Amer Math. Mensual 108, 222-231 (2001).
León Gomez N.A., algúns elementos matemáticos presentes no código Da Vinci. Paradigma 27 1 (2006).
Livium M., a relación Aurea. 10A Ed. Ariel España (2002).
MarkOwky G., equívocos sobre a razón dourada. Matemáticas universitarias. J. 23 2-19 (1992).
Sanjinés Diego C., sucesión xeneralizada de Fibonacci aplicada a circuítos de tipo escaleira. Revista Boliviana de Física. 17, 41-46 (2010).
Sociedade Mexicana de Física. Problemas aplicados nos Xogos Olímpicos do SMF. Editar. SMF México (2007).
Stakhov A. P., o principio xeneralizado da sección de ouro e sitúase aplicacións en ciencias matemáticas e egineering. Caos Solitons Fractal 26 263-289 (2005).
Walser Hans. A sección de ouro. Editar. A Asociación Matemática de América. Estados Unidos (2001).
Wörner C.h., a razón da Aurea e unha escaleira de resistencia semi-infinita. http://cabierta.uchile.cl/revista/17/educacion/edu4/index.html (1999).
recibiu o 12 de setembro de 2012; Aceptado o 08 de novembro de 2012; A versión final recibiu o 10 de xaneiro de 2013.