Hoxe finalmente publicamos a solución e os finalistas e vencedores do desafío infinito de pendente que levantamos fai aproximadamente tres semanas. A primeira pregunta do desafío foi relativamente sinxela: cal é a expresión do ángulo de $ \ ‘que forma a dirección do movemento do obxecto coa dirección “baixada”?
A simplicidade relativa foi debido, sobre Todo, o feito de que aínda que non sabemos esa expresión, coñecemos o seu valor inicial eo seu valor despois dun tempo moi longo. Inicialmente indicaron que a dirección era perpendicular á “baixada”, entón $ \ theta (0) = 90 ^ {\ \ circ} $, eo ángulo tende, a medida que pasa o tempo, para facer cada vez máis pequeno, ata que no límite dun tempo infinito alcanza o valor $ \ theta (\ infty) = 0 ^ \ circ} $ Entón, despois de obter unha expresión de ángulo como unha función de tempo, foi posible polo menos, aínda que non me asegurou de que a resposta sexa correcta: comprobe que os seus valores por un tempo nulo e un tempo moi grande foron os correctos .
Moitos de vostedes responderon correctamente a esta pregunta, que foi o requisito de recibir o segundo. Non obstante, algúns explicaron ben o proceso. Unha explicación clara é a dun dos finalistas, José Manuel:
Primeiro de todo, realizamos un esquema da situación e atopamos a expresión do ángulo θ. No meu caso, chamoi VX a velocidade no sentido de inclinación e V e á súa perpendicular no plano. Lembre que o obxecto ten unha velocidade inicial V0 precisamente na dirección e.
Tan \ theta = \ Frac {v_y} {v_x} \ rightarrow \ theta = atan \ frac {v_y} {v_x} $
No caso ideal onde non hai fricción, nin coa superficie nin co aire, ambas velocidades pódese analizar de forma completamente independente. Por que? Vexamos as forzas que entran en xogo:
Como vemos, as únicas forzas do corpo Son a gravidade FG (descomposta en compoñentes X e Z) e a forza normal n, que é a que exerce o plano sobre o corpo e impide que o pase por el. Sen fricción, non hai forza sobre o eixo Y. O normal e o compoñente da forza da gravidade son cancelados en Z, de xeito que a única forza resultante é o compoñente do peso en X. É algo semellante ao que ocorre cando a Estudouse o disparo parabólico: considérase a composición de dous movementos, unha con velocidade constante e outra perpendicular, uniformemente acelerada.
atopamos, polo tanto, a forza resultante en X. É suficiente para coñecer a expresión de A forza da gravidade e atopa a súa proxección. Sendo m a masa do obxecto aceleración de gravidade:
$ f_g = mg \ rightarrow f_x = mg \ α \ alpha $
Nós aplicamos a segunda lei de Newton:
$ f_x = a_x m \ rightarrow a_x = \ fac {f_x} {m} $
Agora, xa que só hai unha forza constante nesa dirección, estamos ante un movemento uniformemente acelerado. Así como a velocidade inicial nesta dirección é nula:
$ v_x = a_x t $
para que:
$ v_x = g (\ sin \ Alpha) T $
Como se pode ver, a velocidade X é independente da masa. Creo que Galileo sentiríase satisfeito.
A velocidade do eixe e coñecémolo desde o principio. Se, como dixemos, non hai forzas aplicadas neste eixe, o corpo seguirá a moverse nesta dirección coa súa velocidade inicial (Primeira Lei de Newton).
$ V_Y = V_0 $
Por iso xa temos ambas velocidades. θ permanece:
$ \ theta = atan \ frac {v_0} {g (\ sin \ alpha) t} $
Se queres ler a solución de José Manuel con calma e co formato orixinal, é mellor que o que mostren aquí, podes descargalo aquí: JM Solution.
Quen respondeu correctamente a esta pregunta recibida a segunda Parte, que era así:
considera a seguinte modificación do problema: a situación é a mesma que antes, pero agora hai fricción. O coeficiente dinámico de fricción co plano inclinado é MU = TG30º (30ª Tangente, se non le ben). E a pregunta é: cal será o valor do ángulo de THETA despois dun tempo moi longo e moito tempo (pode considerarse infinito)?
Aquí está, por certo, onde dubidou entre esta pregunta E outra e última que coloque a perna e díxenlle que tiña a resposta incorrecta a moitos que o tiña ben … burro que é un. O feito é que a resposta á pregunta era que o ángulo tende ao mesmo valor que antes, é dicir, cero graos: o obxecto acaba movendo exactamente na mesma dirección que sen fricción, na dirección “baixada”.
Antes de incluír a resposta dalgún finalista, unha nota que pode usarse para aqueles que responderon mal: a forza de fricción sempre está dirixida contra o movemento. Algúns escribiron a expresión da forza de fricción na dirección baixada e non na perpendicular, e algúns inclúen en ambos, pero con valor de $ 5 millóns en cada un, pero tanto unha cousa como a outra está mal.
De feito, o problema con esta segunda pregunta foi que, xa que a dirección do movemento do corpo cambia ao longo do tempo, a dirección da forza de fricción tamén o fai, de xeito que os seus compoñentes XE e no avión teñen expresións que varían no tempo Segundo a velocidade do obxecto xira. O módulo da forza de fricción é constante, pero o seu enderezo non.
Notas que neste caso non se lle pediu, como na primeira pregunta, a expresión de θ dependendo do tempo, senón simplemente o seu valor No límite dun tempo infinito. Foi posible razoar como fixo o segundo finalista, biselado:
se $ \ mu $ é TG30 °, entón a forza de fricción é $ mu $ Normal = TG 30TS COS 30º10 m / s ^ 2Masa = 5m Newtons.
casualmente o módulo da forza de fricción e a forza de DownCrend é a mesma (5 * Newtons Mass). .. Non obstante, a dirección é diferente, polo menos ao principio, xa que a forza de fricción é paralela ao movemento coa dirección oposta.
Atopar a forza de cuberta de vectores nas miñas coordenadas 2D, é equivalente a atopar 5 * m (cos θ, sen θ), onde θ é o ángulo que forma o movemento. Incluíndo o efecto da fricción!
Non o fago. Pero se o vexo claro que mentres o corpo se move na dirección “sen baixada”, a forza de fricción continuará a desgastar ao compoñente OY paralelo á velocidade orixinal de V0, mentres que o compoñente OM seguirá tendo unha aceleración positiva. F.caída + f.roment = (5m-5mcosθ, -5msenθ)
Polo menos mentres θ é estrictamente maior que cero.
por pequeno é θ, se é maior que cero, ao segundo seguinte será aínda máis pequeno e o movemento irá cada vez máis baixada. E alí vexo dúas opcións:
ou non se alcanza cero, pero polo que se di no Párrafo anterior O límite é cero. Ou o θ = 0 é alcanzado, co que as forzas son compensadas e o noso movemento convértese nun movemento de velocidade uniforme (aceleración cero).
En calquera caso, o obxecto acabaría deslizando “baixada” a velocidade constante (ou que parecen a alguén que parece suficiente).
Finalmente, para aqueles que responden correctamente, esta pregunta chegou a terceira:
de forma eficaz, despois de moito tempo o obxecto move completamente “baixada” eo ángulo é 0. Agora te digo algo (aínda que me gustaría que poida probalo, Aínda que non forma parte do desafío): Despois diso moito tempo a velocidade será constante. E a pregunta final é: cal é a velocidade constante despois de moito tempo?
Esta pregunta foi moito máis maldita que a anterior, por intentar obter unha expresión de velocidade dependendo do tempo, unha monstruosa era obtivo asustado. Antes dese horror había dúas opcións: unha era usar a análise numérica (un programa de ordenador caseiro, unha folla de cálculo, etc.) e a outra era realizar algo moi curioso e importante e actuar en consecuencia.
Os dous finalistas cuxas solucións que mostrei, Bevender e José Manuel, utilizaron aproximacións numéricas e ambos obtiveron a resposta correcta dese xeito: a velocidade á que o obxecto tende a metade da velocidade coa que comezou.
Pero hai unha elegante manifestación analítica, que é quen obtivo o equipo gañador, formado por Mmononi e a súa filla. Como un Max Planck calquera, Mmonchi gañou numéricamente a mesma solución que os finalistas, e imaxino que como quedaron sorprendidos pola aparente coincidencia de que a velocidade final era a metade da inicial. Pero, como PLANCK pensou, hai poucas coincidencias en física.
Entón Mmonchi mirou de novo o problema e atopou a elegante manifestación que deixo aquí. A explicación da solución non é a súa, por certo, senón da súa filla, cuxo nome non me atrevo a poñer aquí porque esquezo de pedirlle permiso. Sorte, por certo, para o seu exame – o seu pai malévolo utilizou o desafío como adestramento para ese exame, demostrando así a dureza do seu corazón -.
A negra de énfase é a miña porque esa frase é a única que debería facer “en lámpada” nos que case chegaron a isto:
Na segunda parte temos un órgano que recibe dúas forzas paralelas á superficie do avión. A primeira forza está correspondente á gravidade que actúa na dirección downhill. Isto é igual a: m · a · sen30 ° = 5m.A segunda forza está correspondente á fricción que actúa pola dirección contraria do movemento (V (T)), que forma un ángulo θ (t) coa inclinación. Vale TG30º · N · COS30º = 10M · Sen30º, que é igual a 5m.
A forza “Downhill” (FCA) é igual á forza na velocidade (FV), para a que a aceleración do corpo pode dividirse en dúas aceleracións de igual valor. Un da mesma dirección de VAC e outra en contrario dirección a v.
a velocidade VCA (t) despois dun intervalo δT será o mesmo en VAC (t ) + Aδt e VC (T) será igual a V (T + δT) = V (T) -AδT. Estas dúas aceleracións son iguais, así que AδT = VAC (T + δT) -VCA (T) = V (T) -V (T + δT). A partir de aí chegamos a V (t) + VAC (T) = V (T + δT) + VCA (T + δT), o que significa que a suma de V e VAC é constante .
Como no instante inicial V (0) = v0 e VAC (0) = 0 tamén, temos V + Vaca = V0.
Sabemos por trigonometría que VCosθθ . A partir de aí chegamos a vtosθ = v (1 + Cossθ) = v0 e, polo tanto, V = V0 / (1 + Coss).
Queremos saber que valor o ángulo θ tende. Para iso eu Tome como orixe coordenada un punto que se move descenso de manter a altura do CU Erpo. O corpo móvese a través do eixo X cunha velocidade inicial (V0), e está parando no seu movemento, xa que hai fricción. Dado que non hai nada que aumenta a súa velocidade e queda freada, a velocidade tende a 0. Despois dun tempo longo tempo a velocidade do eixo X non será apreciable fronte á velocidade de descenso, polo que o ángulo que formará a velocidade total coa costa abaixo O enderezo tenderá a 0.
Polo tanto, despois dun tempo moi longo, a velocidade será V = V0 / (1 + COS0) = v0 / 2.
Pode ler a plena explicación, que inclúe a resposta á primeira pregunta, aquí.
Espero que teñas que divertirse como Bellacos loitando con este desafío e que recordas que o A cousa importante non é alcanzar a solución correcta senón dar as células grises. Parabéns aos finalistas e aos vencedores, e ata o seguinte desafío!