La définition dépend de la question de savoir si on travaille en temps discrète ou continu. Nous verrons que pour la fonction de l’utilitaire CRRA, les deux approches donnent la même réponse. Les formes fonctionnelles suivantes supposent que l’utilité de la consommation est séparable d’une manière additivement séparable au fil du temps.
Temps discrèdodediterie
utilitaire total sur une vie est donné par:
u = σ t = 0 t β vous (ct) {\ displaystyle u = \ somme ^ ^ β ^ {t} u (c_ {t)}
Dans ce contexte, le taux d’intérêt réel est donné à partir de la condition suivante:
Qu’ ‘ (ct) = q β ru ‘(ct + 1) {\ displaystyle q’ (c_ {t) = \ beta ru ‘(c_ {t + 1})}
une quantité d’argent q {\ affichage q}
coûts investis aujourd’hui Qu ‘(CT) {\ displaystyle Q’ (c_ {t)}
unités utilitaires, ils doivent donc donner le pas exactement que le nombre d’unités utilitaires à l’avenir lorsqu’il est enregistré dans le tarif d’intérêt brut qui prévaut r {\ displaysty r}
. (S’il y en avait plus, alors l’agent pourrait être fait mieux pour économiser davantage.)
résolution du taux d’intérêt réel, nous voyons que
r = u ‘(ct) β u’ (CT + 1) {\ Displaystyle r = {\ frac {u ‘(c_ {t)} {\ beta u’ (c_ {t + 1})}}}
dans les logarithmes, nous avons
r = – Ln – ln β {\ gauche} – \ ln {\ beta}}
Les enregistrements sont très proches des variations de pourcentage, nous pouvons donc interpréter r comme un taux d’intérêt net comme 5%, tandis que R est le taux d’intérêt brut correspondant à 1,05.
L’élasticité de substitution intertemporelle est définie comme le pourcentage de variation de la consommation accrue Augmentation du taux d’intérêt net:
∂ ln (CT + 1 / CT) ∂ R {\ displaystyle {\ CRAC {\ partiel \ ln ( C_ \ t + 1} / c_ {t)} {\ partial r}}}
substituer dans l’équation de journal précédente, nous pouvons voir que cette définition est équivalente à l’élasticité de la consommation Croissance relative à la croissance de l’utilité marginale:
– ∂ ln (CT + 1 / CT) ∂ ln (U ‘(CT + 1) / U’ (CT)) {\ displaystyle – {\ c -1} / c_ {t})} {\ partial \ ln (u ‘(c_ {t + 1}) / u’ (c_ {t))}}}}
