Matemàticament la vorticitat és el camp vectorial definit pel rotacional o rotor de el camp de velocitats:
(1 ) ω = ∇ × v {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times \ mathbf {v}}
l’origen de la vorticitat i la seva importanciaEditar
la presència de vorticitat en un fluid sempre implica la rotació de les partícules fluides, acompanyada o no d’alguna deformació transversal. En un fluid real la seva existència està íntimament lligada a les tensions tangenciales.La equació que permet estudiar la cinètica d’aquest camp (anomenada equació de transport de vorticitat) s’obté prenent el rotacional a banda i banda de l’equació de momentum de les Equacions de Navier -Stokes i expressant la derivada local en termes de la derivada substancial.
(2) d ω d t = ω ⋅ ∇ o + ν ∇ 2 ω {\ displaystyle {D {\ boldsymbol {\ omega}} \ over Dt} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ nabla}} o + \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}}}
La vorticitat s’origina fonamentalment en els contorns sòlids a causa que els fluids no són capaços de lliscar sobre ells, i després es propaga a l’interior de l’fluid seguint la llei de vari ació descrita per l’Equació 2. El primer terme correspon a la variació de vorticitat per deformació de les línies vorticosas. Aquest fenomen ocorre tant en fluids viscosos com no viscosos, però és un fet notable que quan el fluid és no viscós (ideal) aquesta és l’única manera en què la vorticitat pot variar. Tal com ho va demostrar Kelvin en un dels seus teoremes, aquesta variació passa sempre de manera que el flux de vorticitat associat a una superfície oberta que es mou amb el fluid roman constant, la qual cosa també implica que la variació de la circulació Γ de la velocitat al llarg de el contorn d’aquesta mateixa superfície sigui nul·la:
(3) d Γ dt = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d } \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} = 0}
Per trobar una explicació simple a aquest mecanisme de variació de vorticitat imaginem que a l’interior d’un fluid no viscós s’hagi format d’alguna manera una regió vorticosa en forma de tub amb secció variable en la seva longitud. Com dins d’ell no hi ha difusió viscosa, el flux de vorticitat associat a qualsevol superfície transversal és idèntic i constant, per tant a l’variar la secció ha d’haver una variació en la intensitat de la vorticitat.
El segon terme de l’equació 2, que a diferència de la primera només s’avalua en fluids viscosos, correspon a la variació de vorticitat per difusió viscosa i té analogia (similar equació diferencial) amb el fenomen de conducció de calor en sòlids. A causa d’aquest fenomen, partícules que no tenen vorticitat l’adquireixen de partícules veïnes que si la tenen, produint-se una difusió de vorticitat cap a l’interior de l’fluid.
Un exemple senzill que evidència aquest fenomen és el d’un recipient cilíndric ple de fluid que parteix de l’repòs i de sobte comença girar sobre el seu eix a una velocitat angular constant. Qualsevol persona pot intuir que el fluid que originalment romania immòbil començarà a girar juntament amb el recipient. Primer ho farà en el contorn, però a el cap d’un determinat temps tot el fluid es trobarà rotant com si fos una massa sòlida dins de l’recipient. El que passa en el primer instant de l’experiment és justament una generació de vorticitat a causa de l’aparició d’un gradient de velocitat transversal. És a dir: de cop i volta les partícules de el contorn es troben girant amb el recipient causa de la seva adherència, mentre que les seves veïnes encara romanen immòbils. El que passa a continuació és una progressiva difusió viscosa que perdura fins aconseguir l’estat de règim; quan tot el fluid arriba a la mateixa velocitat angular i per tant la distribució de vorticitat és constant.
Si repetíssim exactament el mateix experiment però amb fluids menys viscosos notaríem un temps de transició més llarg, mentre que per a fluids més viscosos temps més curts; la qual cosa és un indicador que la viscositat està relacionada amb la velocitat de difusió de vorticitat. Aquest mateix mecanisme de generació de vorticitat és el responsable de la generació de les capes circumdants al voltant dels cossos sòlids.El procés de formació d’aquestes regions és similar, tot i que en elles es pot trobar gradients de pressions que modifiquen el seu desenvolupament.
L’exemple anterior deixa com a primer concepte que la viscositat és la capacitat que tenen les partícules per encomanar seva vorticitat i que depenent d’ella el fluid estarà en major o menor mesura dominat per la vorticitat. No obstant això, el camp de moviment d’un fluid també està caracteritzat per altres factors: l’escala de sistema (la seva longitud característica), la seva velocitat característica, i la seva densitat. L’efecte d’escala és un indicador que la mida d’un cos és un dels paràmetres determinants del camp de moviment. Si es compta amb dos models d’un mateix contorn sòlid però de diferent escala i es fa circular a través d’ells un mateix fluid a la mateixa velocitat la vorticitat no tindrà perquè difondre igual en ambdós casos, de manera que la forma i / o intensitat de les regions vorticosas no seran necessàriament idèntiques. Si es vol tenir moviments similars s’haurà de fer circular pel cos més gran un fluid menys dens, o menor velocitat, o de major viscositat.
Un exemple senzill sobre l’efecte d’escala és la circulació de fluid tangent a un pla sòlid, on es conclou que el desenvolupament de la capa circumdant depèn de la longitud.La densitat, per la seva banda, és un factor que intervé dinàmicament, perquè a l’variar la massa d’una partícula fluïda varia la seva resposta davant les accions que s’exerceixen sobre ella.Desde aquest punt de vista més ampli és evident que el nivell de difusió de vorticitat està estretament lligat a el nombre de Reynolds de el fluid.
Amb una expressió matemàtica molt simple el nombre de Reynolds permet distingir i comparar el moviment dels fluids. Això es deu al fet que reuneix les característiques fonamentals de el moviment: l’escala d’espai i temps, la massa i les accions internes. En termes generals es pot dir que quan aquest nombre disminueix els fenòmens associats a la viscositat guanyen preponderància, i per tant es pot esperar regions vorticosas més extenses. Per contra, quan s’incrementa, els fenòmens viscosos es debiliten en relació als no viscosos, i per tant és d’esperar regions vorticosas més compactes.
La vorticitat en fluids no viscososEditar
En els fluids ideals (no viscosos i incompressibles) la vorticitat adquireix fonamental importància. Tot i que en ells l’absència de viscositat impedeix la difusió de vorticitat, és possible trobar regions singulars extremadament compactes on la vorticitat és infinitament intensa. Alguns exemples d’aquestes regions són els vòrtex i les làmines vorticosas.Estas regions singulars són emprades en nombrosos estudis d’aerodinàmica, com ara el dels perfils alars Zhukovski, i el mètode de Prandtl-Glauert.
La vorticitat i el camp de movimientoEditar
per a fluids estrictament incompressibles, ja siguin viscosos o no viscosos, hi ha una relació molt estreta entre la vorticitat i el camp de moviment definida per l’equació integral Tompson-Wu. Aquesta relació té un gran valor ja que permet avaluar el camp de moviment a partir de el camp de vorticitat, que és nul en la major part de l’dominio.La equació de Tomson-Wu aplicada a segments de vòrtex en fluids no viscosos adquireix la forma d’ l’equació de Biot i Savart (Biot-Savart law) .Aquestes dues equacions són emprades en diversos mètodes aerodinàmics com ara el “mètode inestacionario de la malla de vòrtex”.