Un con circular recte invertit té 2 m d’altura i en la part superior el diàmetre és de 1.5m. Si el con conté aigua i l’altura de la superfície de el líquid és de 1.8 m, quin és el treball per bombar el líquid fins a la part superior de l’recipient? Valor

El treball que ha de realitzar l’equip de bombament per moure tota l’aigua a la part superior de l’recipient serà de 28229 Kgf * m, aproximadament.

Explicació pas a pas:

a l’dividir el líquid contingut en el tanc en infinites capes cilíndriques d’altura Δy, observem que aquestes capes són de ràdio variable.

Atès que treball és força per distància, primer calculem la distància a desplaçar cadascuna de les capes cilíndriques d’altura Δy. Aquesta distància és la diferència entre el recorregut vertical total (2 m d’alçada) i l’altura a la qual es troba la capa cilíndrica genèrica seleccionada (i). (Veure figura annexa)

La força a aplicar per desplaçar cadascuna de les capes cilíndriques és el seu pes. Aquest es calcula multiplicant el pes específic de l’aigua (1000 Kgf / m³) pel volum de la capa cilíndrica.

\ bold {\ Delta F ~ = ~ 1000 \ cdot \ pi \ cdot x ^ {2} \ cdot \ Delta i}

la variable x ha de ser expressada com una funció de i, per tant fem servir semblança de triangles o l’equació de la recta que passa per dos punts coneguts. (Veure figura annexa)

\ frac {0.75} {x} ~ = ~ \ frac {2} {i} \ quad \ Rightarrow \ quad x ~ = ~ \ frac {8} {3} i

La força per moure les capes cilíndriques ve donada per:

\ Delta F ~ = ~ 1000 \ cdot \ pi \ cdot (\ frac {8} {3} i) ^ {2} \ cdot \ Delta i \ quad \ Rightarrow

\ Delta F ~ = ~ \ frac {64000 \ cdot \ pi} {9} i ^ {2} \ cdot \ Delta i

el treball necessari per moure tota l’aigua ve donat per:

T ~ = ~ \ int_ {0} ^ {1.8} {} \, di \ qquad \ Rightarrow

T ~ = ~ \ frac {64000 \ cdot \ pi} {9} \ int_ {0} ^ {1.8} {} \, di ~ = ~ \ frac {64000 \ cdot \ pi} {9} \ int_ {0} ^ {1.8} {(2 \ cdot i ^ {2} ~ - ~ i ^ {3})}} \, di \ qquad \ Rightarrow

T ~ = ~ \ frac {64000 \ cdot \ pi} {9} \ cdot_ {0} ^ {1.8} \ qquad \ Rightarrow

\ bold {T ~ = ~ \ frac {44928 \ cdot \ pi} {5} \ quad Kgf \ cdot m}

el treball que ha de realitzar el equip de bombament per moure tota l’aigua a la part superior de l’recipient serà de 28229 Kgf * m, aproximadament.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *