Una família de problemes inversos inherentment més difícils són els referits conjuntament com a problemes inversos no lineals.
Els problemes inversos no lineals tenen una relació més complexa entre les dades i el model, representats per l’equació:
d = G (m) {\ displaystyle \ d = G (m)}
Aquí G {\ displaystyle G}
és un operador no lineal i no pot ser separat per representar una correspondència lineal dels paràmetres de el model que formen m {\ displaystyle m}
en les dades. En aquest tipus de problemes, el primer que s’ha de fer és comprendre l’estructura de el problema i donar una resposta teòrica a les qüestions d’Hadamard (de tal manera que el problema està “solucionat des del punt de vista teòric”). En aquest punt se segueix amb l’estudi de la regularització i de les interpretacions de l’evolució de les solucions amb noves mesures (probabilístiques o d’un altre tipus). Per aquest motiu les seccions següents corresponents realment no es refereixen a aquests problemes.
Mentre que els problemes inversos lineals estaven completament resolts des del punt de vista teòric a la fi de segle XIX, només una classe de problemes no lineals ho estava abans de 1970: el problema espectral invers i el de la dispersió inversa (en un espai d’una dimensió), després del treball fonamental de l’escola matemàtica russa (Krein, Gelfand, Levitan, Marchenko). Chadan i Sabatier donen un ampli estudi dels resultats en el seu llibre “Inverse Problems of Quantum Scattering Theory” (amb dues edicions en anglès i una en rus). En aquesta classe de problemes, les dades són propietats de l’espectre d’un operador lineal que descriu la dispersió. L’espectre està format per autovalors i autofuncions, formant el “espectre discret”, (…..) l’espectre continu. El (….) és que els experiments sobre la dispersió proporcionen informació només de l’espectre continu, i el coneixement del seu espectre complet és necessari (i suficient) per recuperar l’operador de dispersió. Per tant, tenim paràmetres invisibles, molt més interessant que l’espai nul que té una propietat similar en els problemes lineals inversos! A més, existeixen moviments físics on l’espectre de tal operador és conservat amb el moviment. Aquests moviments són regits per equacions diferencials parcials especials, per exemple la “Korteveg -de Vries”. Si l’espectre d’un operador és reduït a un únic autovalor, el moviment corresponent és el d’un únic cop que es propaga amb velocitat constant sense deformació, una ona solitària anomenada “soliton”. Està clar que semblant senyal perfecte i les seves generalitzacions per a l’equació de Korteweg-de Vries, o altres equacions diferencials parcials no lineals integrables, són de gran interès, amb moltes possibilitats d’aplicació, i són actualment estudiades com una branca de la física matemàtica des 1970.
Els problemes inversos no lineals s’estudien també en molts camps de les ciències aplicades (acústica, mecànica, mecànica quàntica, dispersió electromagnètica, en ones radar, sísmiques, en tota classe de processament d’imatges, etc ).