Paisatges Matemàtics

És molt probable que el teorema de Pitàgores sigui el resultat més important de la vella matemàtica clàssica. Una recerca ràpida en Paisatges Matemàtics condueix a diversos articles en els quals és tractat des de diferents angles. En particular, algunes de les seves demostracions clàssiques són discutides aquí, aquí, aquí, aquí, aquí, aquí i aquí.

a El pastís de l’ logo d’aquest article representa una altra de les proves més famoses (fes click sobre la imatge de l’esquerra per activar el vídeo corresponent). D’entre totes, aquesta és la que més m’agrada, no només per la seva senzillesa sinó també per raons ” sentimentals ”. Com sol passar, el meu professor de liceu mai va explicar el perquè de l’teorema, sinó que només ho va reduir a una fórmula algebraica útil (¿?) Per calcular la longitud d’un costat d’un triangle rectangle a partir de les dels altres dos (i així sentir-nos feliços a l’resoldre correctament un exercici rutinari en algun examen …) Aquesta demostració va aparèixer en un llibre d’història de les matemàtiques que per fortuna va arribar a les meves mans i va despertar la meva passió per la geometria.

en fi, crec que tots els que ens apassiona la matemàtica podem relatar una història similar i, de passada, confirmar aquest diagnòstic sobre l’ensenyament d’ella a l’escola. Una mica d’això s’esmenta en aquest article, així com en la seva rèplica, pel que fa específicament a la geometria. El meu objectiu aquí no és entrar de nou en aquesta discussió (de la qual ja s’ha dit molt en aquest lloc, encara que podria dir-se encara molt més), sinó referir-me concretament a una demostració molt poc convencional de l’teorema. Per motivar-la, una pregunta una mica ” ingènua ”:

¿Quantes demostracions de el teorema de Pitàgores ha?

La resposta (intencionalment esquiva) és: moltes més de les que usualment s’ensenyen. Una notable recopilació apareix en el llibre The Pitàgores Proposition, obra (en anglès) d’Elisha Loomis que data de 1927 i que conté ni més ni menys que 256 demostracions diferents (algunes una mica ” qüestionables ” ja que requereixen de coneixements massa avançats, com per exemple l’última, que necessita geometria hiperbòlica). Entre elles, hi ha algunes que solen ser atribuïdes a personatges connotats dels temps ” moderns ”, com Leonardo da Vinci, Benjamin Franklin i Albert Einstein (tot i que aquestes atribucions són també posades en dubte pels estudiosos de l’assumpte).

Un compendi més interactiu (també en anglès) és aquest bloc, que ja compta amb més de 120 demostracions diferents. La prova número 117 d’aquest lloc -de la meva autoria- data del 2016 i, després de revisar moltíssima bibliografia sobre el tema, puc afirmar sense por que és totalment original.

La idea d’l’argument va néixer buscant informació sobre el teorema a internet per preparar una xerrada per a estudiants de liceu. En una pàgina (que, lamentablement, no he pogut reubicar) em vaig trobar amb imatges d’aquest tipus.

Si recordo bé , aquestes anaven acompanyades d’una pregunta natural:

És la suma de les àrees de les figures sobre els catets igual a l’àrea de la figura sobre la hipotenusa?

És possible que la resposta no sigui tan evident per a un estudiant de liceu; inclusivament, pot ser que -per precaució- un matemàtic professional necessiti d’alguns llargs segons abans de respondre. I és que estem tan habituats a ” memoritzar ” i ” repetir ” el teorema com un resultat vàlid per a ” quadrats ” (construïts sobre els costats) que el canviar aquestes figures per altres (triangles, pentàgons, etc.) pot desencadenar un bloqueig intel·lectual. No obstant això, un moment de reflexió ens indica que l’àrea d’aquestes figures és proporcional a la dels quadrats, amb una constant de proporcionalitat que només depèn de la ” forma ” de la figura. Aquesta constant no és altra que el valor de l’àrea d’aquesta figura quan és portada a una mida tal que es recolza sobre un segment de longitud 1, cobrint exactament el seu llarg. De fet, la figura no necessàriament ha de ser poligonal: pot tenir corbes, siluetes, etc. Fins i tot pot ser la d’un hipopòtam!

Recíprocament, hagués de resultar evident que per a qualsevol altra figura sobre els costats de el triangle rectangle (hipopòtams, semicercles, pentàgons regulars, triangles equilàters, etc.), la igualtat entre l’àrea de la qual s’erigeix sobre la hipotenusa amb la suma de les àrees d’aquelles sobre els catets implica la validesa de l’teorema de Pitàgores convencional (per quadrats).En efecte, n’hi ha prou multiplicar cada membre aquesta igualtat per la constant apropiada per tornar a les àrees dels quadrats respectius.

Podrà donar-se una prova ” directa ” per a alguna d’aquestes igualtats, és a dir, un argument que no passi pel fet que ja coneixem el teorema clàssic? Si es tracta de figures de contorn arbitrari, això sembla molt improbable. No obstant això, per a aquest vídeo i en aquest (tots dos en anglès) trobaràs simpàtiques discussions sobre aquesta demostració (la qual és, sovint, atribuïda a Einstein …) que es basa en una idea d’aquest tipus. En aquest cas, ‘les figures considerades sobre cada costat són còpies de el triangle original!

Si ens restringim a el cas de polígons regulars erigits sobre els costats del nostre triangle original (com apareix il·lustrat a dalt), sí que és possible donar arguments directes de prova. A continuació presento un per al cas de triangles equilàters que va en l’esperit de les demostracions més clàssiques de l’teorema. Com estem en ple segle XXI, en lloc de transcriure, la deixo en forma de vídeo. Si fossin necessaris, els detalls apareixen en el text adossat aquí.

I és així com, en ple segle XXI, encara es pot aportar nou a la matemàtica de la Grècia antiga: una nova prova d’un teorema de 2500 anys d’antiguitat! (I potser molts més).

Refrescant, no?

Problema 1: El que s’exposa en aquest article pot ser complementat amb el teorema de equidescomposición de Wallace-Gerwien-Bolyai, magníficament desenvolupat en aquest article. A l’llegir-lo, aprendràs que si sobre els costats d’un triangle rectangle s’erigeixen figures poligonals semblants, aleshores les que estan sobre els catets poden ser tallades en peces poligonals que, rensambladas, cobreixen exactament la figura de la hipotenusa. Implementa això per figures que siguin pentàgons regulars, rectangles auris, triangles equilàters, etc.

Problema 2: Si en un triangle rectangle es tracen les semicircumferències amb diàmetre la hipotenusa i els catets, la primera cap a dins i les dues segones cap a fora, llavors les regions compreses entre elles són cridades lúnules d’Hipòcrates. Una propietat fonamental (que verificaràs ràpidament usant el teorema de Pitàgores) és que la suma de les seves àrees és igual a la de el triangle original.
Pregunta: ¿quan són figures semblants les dues lúnules?