La matriu jacobiana és una matriu formada per les derivades parcials de primer ordre d’una funció. Una de les aplicacions més interessants d’aquesta matriu és la possibilitat d’aproximar linealment a la funció en un punt. En aquest sentit, el jacobià representa la derivada d’una funció multivariable.
Pròpiament hauríem de parlar més que de matriu jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicació lineal jacobiana ja que la forma de la matriu dependrà de la base o coordenades triades. És a dir, donades dues bases diferents l’aplicació lineal jacobiana tindrà components diferents encara tractant-se d’ell mateix objecte matemàtic. La propietat bàsica de la “matriu” jacobiana és la següent, donada una aplicació qualsevol F: R n → R m {\ displaystyle \ mathbf {F}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}
contínua, és a dir F ∈ C (k) (R n, R m) {\ displaystyle \ mathbf {F} \ in {\ mathcal {C}} ^ {(k)} (\ mathbb {R } ^ {n}, \ mathbb {R} ^ {m})}
es dirà que és diferenciable si hi ha una aplicació lineal λ ∈ L (R n, R m ) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}} \ in {\ mathcal {L}} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {R} ^ {m})}
tal que :
(1) lim ‖ x – i ‖ → 0 ‖ (F (x) – F (i)) – λ (x – i) ‖ ‖ x – i ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim _ {\ | \ mathbf {x} – \ mathbf {i} \ | \ to 0} {\ frac {\ | (\ mathbf {F} (\ mathbf {X}) – \ mathbf {F} (\ mathbf {i})) – {\ boldsymbol {\ lambda}} (\ mathbf {x} – \ mathbf {i}) \ |} {\ | \ mathbf {x } – \ mathbf {i} \ |}} = 0}
funció escalarEditar
Comencem amb el cas més senzill d’una funció escalar F: R n → R {\ displaystyle \ scriptstyle F: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}
. En aquest cas la matriu jacobiana serà una matriu formada per un vector fila que coincideix amb el gradient. Si la funció admet derivades parcials per a cada variable es pot veure que n’hi ha prou definir la “matriu” jacobiana com:
λ (x): = ∇ F (x) = {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ lambda}} (\ mathbf {x}): = {\ boldsymbol {\ nabla}} F (\ mathbf {x}) = {\ begin {bmatrix} {\ cfrac {\ partial F (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {1}}} & \ ldots & {\ cfrac {\ partial F (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}}}
Ja que llavors es complirà la relació (1) automàticament, de manera que en aquest cas la “matriu jacobiana” és precisament el gradient.
Funció vectorialEditar
Suposem F: R n → R m {\ displaystyle \ mathbf {F}: \ mathbb {R} ^ {N} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}
és una funció que va de l’espai euclidià n-dimensional a un altre espai euclidià m-dimensional.Aquesta funció està determinada per m funcions escalars reals:
yi = F (x 1, …, xn), i = F (x) = (F1 (x ), …, F m (x)) {\ displaystyle y_ {i} = F_ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \ qquad \ mathbf {i} = \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) = (F_ {1} (\ mathbf {x}), \ dots, F_ {m} (\ mathbf {x}))}
Quan la funció anterior és diferenciable, llavors les derivades parcials d’aquestes m funcions poden ser organitzades en una matriu m per n, la matriu jacobiana de F:
{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ cfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ cfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ cfrac {\ partial y_ {m}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ cfrac {\ partial y_ {m} } {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}}}
Aquesta matriu és notada de diverses maneres:
JF (x 1, …, xn), o ∂ (i 1, …, im) ∂ (x 1, …, xn), o DF (x 1, …, xn), o ∇ F (x 1, …, xn) {\ displaystyle J _ {\ mathbf { F}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \ qquad {\ mbox {o}} \ qquad {\ frac {\ partial (y_ {1}, \ ldots, y_ {m})} {\ partial (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}}, \ qquad {\ mbox {o}} \ qquad D \ mathbf {F} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} ), \ qquad {\ mbox {o}} \ qquad \ nabla {\ boldsymbol {\ mathbf {F}}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}
Cal notar que la i-èsima fila coincidirà amb el gradient de la funció yi, per a tot i = 1, …, m.
Si p és un punt de Rn i F és diferenciable en p, llavors la seva derivada està donada per JF (p). En aquest cas, l’aplicació lineal descrita per JF (p) és la millor aproximació lineal de F a prop de el punt p, d’aquesta manera:
F ( x) ≈ F (p) + JF (p) (x – p) {\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ approx \ mathbf {F} (\ mathbf {p}) + J _ {\ mathbf {F}} (\ mathbf {p}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {p})}
per x prop de p. O amb més precisió:
lim ‖ x – p ‖ → 0 ‖ F (x) – F (p) – JF (p) (x – p) ‖ ‖ x – p ‖ = 0 {\ displaystyle \ lim _ {\ | \ mathbf {x} – \ mathbf {p} \ | \ to 0} {\ frac {\ | \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) – \ mathbf {F} (\ mathbf {p}) -J _ {\ mathbf {F}} (\ mathbf {p}) (\ mathbf {x} – \ mathbf {p}) \ |} { \ | \ mathbf {x} – \ mathbf {p} \ |}} = 0}
En certs espais vectorials de dimensió no finita, formats per funcions, pot generalitzar el concepte de matriu jacobiana definint una aplicació lineal jacobiana.
EjemplosEditar
Exemple 1. la matriu jacobiana de la funció F: R3 → R3 definida com:
F (x 1, x 2, x 3) = (x 1, 5 x 3, 4 x 2 2 – 2 x 3) {\ displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = (x_ {1}, 5x_ {3}, 4x_ {2} ^ {2} -2x_ {3})}
és:
JF (x 1, x 2, x 3) = {\ displaystyle J_ {F} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & -2 \ end {bmatrix }}}
No sempre la matriu jacobiana és quadrada. Vegeu el següent exemple.
Exemple 2.Suponngase La Función F: R3 → R4, Cuyas Componentes Fill:
y 1 = 1 / x 1 {\ displaystyle y_ {1} = 1 / x_ {1};}
y 2 = 5 x 3 {DisplayStyle y_ {2} = 5x_ {3} \,}
y 3 = 4 x 2 2 – 2 x 3 {displaystyle y_ {3} = 4x_ {2} ^ {2 } -2x_ {3},}
y 4 = x 3 sin (x 1) {displaystyle y_ {4} = x_ {3} SIN (x_ {1}),}
Aplicando La Definició de Matriz Jacobiana:
jf (x 1, x 2, x 3) = =. {DisplayStyle J_ {F} (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}) = {BEGURE {BMATRIX} {DFRAC {parcial Y_ {1}} {parcial x_ {1}}} & {dfrac {parcial y_ {1}} {parcial x_ {2}}} & {dfrac {parcial) y_ {1}} {parcial x_ {3}}}} {dfrac {parcial y_ {2}} {parcial x_ {1}}} & { dfrac {parcial y_ {2}} {parcial x_ {2}}} & {dfrac {parcial y_ {2}} {parcial x_ {3}}} {dfrac {parcial y_ {3}} {parcial x_ {1}}} & {dfrac {parcial y_ {3}} {parcial x_ { 2}}} iv Parcial x_ {1}}} & {dfrac {parcial y_ {4}} {parcial x_ {2}}} & {dfrac {parcial y_ {4}} {parcial x_ {3}}}}}}}}} {bitch {bmatrix} -1 / x_ {1} ^ {2} & 0 & 0 \ € & 0 & 5 \ 0 & 8x_ {2} & -2 \ _ { 3} COS (x_ {1}) & 0 & Sin (x_ {1}) end {bmatrix}}. }
