Formació Universitària – Vol. 6 (2), 23-32 (2013)
Articles
La Seqüència de Fibonacci i el Nombre d’Or en Enginyeria Elèctrica i Anàlisi Numèrica
The Fibonacci Sequence and the Golden Section in Electrical Engineering and Numerical Analysis
Carlos Figueroa (1), Lamberto Castro (2), Jesús R. Fox (2), Manuel Lozano (2)
(1) Universitat de Sonora, Divisió d’Enginyeria, Departament d’Enginyeria Industrial, Unitat Regional Centre Av . Rosales i L. Alzines, Col. Centre. CP. 83500. Hermosillo, Sonora, Mèxic. (E-mail: [email protected])
(2) Universitat de Sonora, Divisió de Ciències i Enginyeria, Departament de Física, Matemàtiques i Enginyeria, Unitat Regional Sud. Lázaro Cárdenas No. 100. C.P. 85.880, Navojoa, Sonora, Mèxic
Resum
El present article pretén desenvolupar solucions alternatives a dos diferents problemes que contenen la raó àuria: 1) en un circuit elèctric amb infinites resistències òhmiques es presenta una solució inductiva mitjançant la seqüència de Fibonacci i es corrobora més el resultat usant fraccions contínues; i 2) en la formulació newtoniana per al disseny d’un con truncat de mínima resistència aerodinàmica es proposa una solució numèrica per provar la bondat de el model. Tots dos exercicis tenen poder didàctic en assignatures com enginyeria elèctrica, mecànica vectorial, anàlisi numèrica i àlgebra superior. El treball representa un ajut a l’estudi de temes associats a l’assoliment d’habilitats matemàtiques.
Paraules clau: raó àuria, sèrie de Fibonacci, escala semi-infinita, resistència aerodinàmica.
Abstract
this article claims to develop alternative solutions to two different problems which contain the golden section: 1) in an electrical circuit with infinite ohmic Résistances this paper provides an Inductive solution by Fibonacci sequence and results are corroborated using continue fractions ; and 2) in the design of a frustum of a cone with minimum Aerodynamic resistance a numerical solution is proposed to check the Goodness of the model. Both exercises have didactic power on subjects such as electrical engineering, vectorial mechanics, numerical analysis and advanced algebra. This paper represents a contribution to the study of subjects associated to improve mathematical skills.
Keywords: golden section, Fibonacci sequence, semi-infinite ladder, Aerodynamic resistance.
INTRODUCCIÓ
Hi ha en la ciència contemporània un corrent d’investigacions sobre la seqüència de Fibonacci i la raó àuria. Els seus principals manifestacions són el fòrum: International Conference on Fibonacci Numbers i la revista The Fibonacci Quaterly; a més es disposa en la literatura especialitzada d’un conjunt de treballs, on molts han produït grans gestes científiques de la física i les matemàtiques -exemple d’això és la relació amb la dimensió fractal de Mandelbrot, o la fracció contínua de Ramanujan-. En el tema de les seves aplicacions, un dels autors més entusiastes és Stakhov (2005), esmenta en forma específica el seu ús en ciència i enginyeria.
Stakhov, estableix i justifica un nou enfocament que s’anomena matemàtiques harmòniques, inclou teoria de nombres, teoria de funcions hiperbòliques basada en nombres de Fibonacci, així mateix de matrius àuries; però el més interessant, ell assenyala que aquesta nova teoria és la font de creativitat en botànica, biologia, ciències de la computació, enginyeria de sistemes en comunicació, educació en matemàtiques i en la teoria de física d’altes energies de partícules. Però independentment de les consideracions de Stakhov, s’han generat abundants resultats històrics com geometria d’objectes auris, quaternions, nombres complexos i per descomptat, la dimensió fractal. Objectes com les nines Matriuskas, que encaixen una dins l’altra, exemplifiquen els fractals; el matemàtic Benito Mandelbrot va encunyar el terme l’any de 1975, que constitueix un concepte cabdal en la geometria, i en sistemes extremadament irregulars coneguts com a caos. Els fractals representen un intent extraordinari per descriure les formes de el món real, Livi (2006). A continuació es descriu la seva relació amb el nombre d’or representat usualment com ø = 
La relació entre nombre de sub-objectes n, el factor de reducció i la Dimensió D és
Walser Hans (2001) presenta la relació entre natura i els fractals; a més a partir de la construcció d’un arbre auri, determina la seva dimensió que resulta 1.4404, és a dir no és un enter, sinó un nombre irracional.Per al arbre auri 
es satisfà la condició 2 = OD, llavors és fàcil veure que
A més Walser mitjançant una geometria àuria il·lustra rectangles, altres polígons, el·lipses, políedres i les relacions trigonomètriques generades aquí.
els quaternions són els números hipercomplexos que signifiquen sortir de el pla complex i construir l’espai 3D complex, fet que genera noves àlgebres com la de Clifford. Serpil Halici, (2012), assenyala l’existència dels quaternions de Fibonacci. És a dir, hi ha relacions de la variable complexa amb seqüència de Fibonacci.
Alguns matemàtics consideren a la raó àuria part d’una família de nombres amb propietats comunes, per exemple, tenen similituds a l’demostrar matemàticament la seva irracionalitat, usant càlcul infinitesimal, Huylebrouck (2001); són els anomenats nombres metàl·lics o POEM, que significa PTH Order Extreme Mean. Irracionals distingits d’aquest conjunt són el nombre d’Euler i, zeta de Riemann ζ i π. Dels nombres metàl·lics es té el de plata 
i el de bronze 
, que sorgeixen d’una forma de generalitzar la seqüència de Fibonacci. Com irracionals que són, es poden representar en fraccions contínues infinites; a principi de segle XX, Srinivasa Ramanujan va trobar una expressió que inclou ø, ei π tal que
D’altra banda, en el món de física la relació amb certs fenòmens és abundant. Per exemple, en els estudis dels processos de desintegració, que van de sistemes d’equilibri a no equilibri, com pot ser el cas de decreixement de poblacions, desintegració de roques, o devaluacions de moneda, es formulen amb un mecanisme anomenada Cumulative diminuations, tal com ho assenyalen Buyukkhc i Dimirhan (2008); ells en el seu treball utilitzen els anomenats conjunts de Cantor, que condueixen a una dimensió fractal. Aquest mètode, conforma una teoria que va provar la seva utilitat en física d’altes energies.
En cosmologia i astronomia s’esmenta el nombre d’or en l’estructura de l’univers, la magnitud de el sistema solar i dels anells de Saturn , Bennett (1999) .També es reporta en la relació dels radis de la terra i el sol entre d’altres. En mecànica quàntica es té present en la relació de freqüències d’un parell d’oscil·ladors harmònics com ho demostra Bleher (1990). També en física de l’estat sòlid i cristal·lografia, s’han trobat materials com el manganès d’alumini, amb estructures moleculars una mica ambigües, que no són amorfes ni periòdiques, són els anomenats quasi-vidres; aquests tenen la seva explicació física en un model matemàtic amb base a una configuració àuria, com ara els mosaics de Penrose, Livi (2006). D’altra banda també s’ha comprovat la seva presència en el factor de Landé de el magnetisme. A continuació s’explica el cas d’estructures hidden anomenat grup E8.
En magnetisme hi ha treballs com el d’Affleck (2010) i Coldea (2010) que reporten la raó daurada en materials magnètics compostos, ja que en una col·lecció de partícules de estats lligats la massa és reduïda. El càlcul d’estats relativistes inclou rotacions properes a la velocitat de la llum donada en termes d’E = mc2 .Atès que mereix una anàlisi relativista, determinar la raó de masses és un problema més gran. Una alternativa és mitjançant mètodes de teoria quàntica de camps. En sistemes de baixa dimensionalitat ha solucions exactes. Coldea reporta resultats d’un experiment amb el material cobalt de niobato C0Nb2O6 on hi ha una raó de masses en termes de nombre d’or. Aquestes es relacionen a les estructures anomenades E8 (hidden), una de les més excepcionals i interessants dels anomenats grups de Lie. L’experiment de Coldea va demostrar la relació de masses de dues cuasipartículas de baixa energia de l’cobalt de niobato, s’aproximen a la raó àuria. L’experiment va corroborar els resultats de el càlcul amb base a quàntica de camps i considerant un sistema d’una dimensió, es va determinar solució exacta.
No obstant això, hi ha autors com Falbo (2005) i Markowsky (1992), ells tenen un punt de vista diferent ja que dubten de les qualitats desmesurades assignades a el nombre d’or. Aquí hi ha declaracions com la de Markowsky que diu: “generalment les propietats matemàtiques són correctament declarades, però moltes vegades les presentades en arquitectura, literatura i estètica són falses o enganyoses”. Diu que s’ha forjat diversos mites que es repeteixen moltes vegades, i assenyala errors en la història de el nombre d’or, a més com certs patrimonis arquitectònics i artístics com la gran piràmide d’Egipte, el Partenó de Grècia, o l’edifici de l’ONU a Nova York, pintures de Leonardo da Vinci, no exhibeixen dimensions àuries. Així mateix Falbo es refereix a una mena de “culte” a el nombre d’or.També demostra com en certs casos, l’afirmació que la proporció d’or té un lloc especial entre els números, encara que com una descripció vàlida de la naturalesa no és compatible. A més, refuta la idea que es presenta amb freqüència en l’art i arquitectura. Per exemple, a l’prendre mesures, troba que no hi ha cap base per dir que el nombre d’or es reprodueix naturalment en les petxines marines. En particular, no hi ha cap base per afirmar que es presenti en els nàutils. També discuteix el seu desacord amb Mario Livio que la raó àuria és “El nombre més sorprenents de l’món.”
No obstant això, el tema pot ser plausible si es remet a la feina de Stakhov, on el correcte és pensar en la sèrie de Fibonacci com un principi general que pugui obrir-se a aplicacions tecnològiques concretes i específiques. El nostre treball tracta dos problemes que poden ajudar en l’ensenyament de les matemàtiques i de la física, a més de tenir efectes tecnològics. Se sap que una escala semi-infinita de resistències en sèrie i en paral·lel, té aplicació en metrologia digital; i pel que fa a estudis de resistències aerodinàmiques, s’efectuen en la indústria automotriu i aeroespacial.
Primerament s’analitza un popular exercici de textos de física anomenat el problema de circuits elèctrics tipus escala, o també l’escala semi infinita de resistències. Aquest cas és tractat en infinitat de llibres com ara el de M. Alonso i E. Finn (1967), i el de problemes per olimpíades de física (2007). També en la literatura especialitzada es tenen els treballs de Worner (1999) el treball dels quals fa servir fraccions contínues, a més de determinar en forma elegant els voltatges de tot el circuit. Així mateix Sanjinés (2010) presenta solucions utilitzant la representació matricial de la freqüència de Fibonacci i el càlcul de eigenvalores. Tots dos treballs constitueixen formes noves de resoldre el mateix problema. Aquí la nostra tasca per al circuit amb infinites resistències en sèrie i paral·lel afegeix una anàlisi inductiu amb la base de la sèrie de Fibonacci, així mateix es pot comparar aquesta solució amb les fraccions contínues usades per Worner.
De seguida, amb base als treballs de Creu et.al. (2010), on es determina el con truncat auri de mínima resistència aerodinàmica aplicant una solució algebraica, es presenten els seus principals resultats mateixos que requereixen una anàlisi prèvia, ja que els treballs d’aquest grup de recerca contenen un conjunt de demostracions que poden enriquir les lliçons de mecànica vectorial i àlgebra superior; la nostra contribució intenta complementar aquestes anàlisis amb un tractament numèric utilitzant Matlab. L’anàlisi és generat per un con de dimensió particular, a partir dels resultats calculats per aquest grup, amb l’objectiu de facilitar els càlculs a través d’l’ús de l’Matlab.
Nelly Ametista Lleó Gómez (2006), refereix a l’estudi de temes com criptografia o teoria de nombres, la qual cosa pot donar als estudiants l’oportunitat d’apropar-se les matemàtiques d’una manera lleugera, per motivar la recerca de el coneixement. Els problemes aquí tractats i discutits poden ser expressats en forma didàctica i aconseguir aquest propòsit.
DESARROLLOS MATEMÀTICS
Raó àuria i seqüència de Fibonacci
Walser és un els autors que millor demostra els conceptes. Si es defineix la raó de el segment més petit entre un altre més gran es té l’equació de segon grau
Amb arrels tals que
La longitud ha de ser positiva per tant s’escull x1. Walser fa servir el recíproc d’aquesta com la raó daurada. De l’equació quadràtica i de les dues arrels, s’observen moltes propietats que poden ser usades per derivar altres resultats. Per exemple si es fa
S’ha de
L’última pot generalitzar-se a
Aplicant linealització de potències s’obtenen en els coeficients de la linealització dels nombres de Fibonacci, tal que
que satisfà la relació de recurrència
Si es defineixen els valors inicials com a0 = 1 a1 = 1 es té la seqüència 1,1,2,3, 5,8,13,21 , 34,55 … que pot generalitzar-se de diverses maneres.
Finalment de l’quocient successiu dels nombres de Fibonacci, es pot obtenir el valor de el límit,
circuit elèctric d’infinites resistències en sèrie i en paral·lel.
a la figura 1 es descriu un circuit amb una quantitat infinita de resistències d’igual valor R. Es pot provar que el circuit equivalent és de la forma Req = Or.
Fig.1. Circuit elèctric d’infinites resistències.
Per a una primera demostració inductiva es parteix d’un circuit de només 3 malles, tal circuit s’estableix a la figura 2a.
Fig. 2a.Circuito de 3 malles.
Fig. 2b. L’última malla té dues resistències en sèrie les quals estan en paral·lel amb el seu adjacent.
A la figura 2b, s’aplica la fórmula de resistència equivalent per a circuits en paral·lel, de manera que
D’altra banda, el circuit resultant es representa a la figura 3a:
Fig. 3a. S’observa el mateix procés: dues resistències en sèrie (R + 2/3 R), les quals estan en paral·lel amb l’adjacent.
Fig. 3b. Nova configuració resultant.
La figura 3b permet determinar una altra resistència equivalent de la forma
El procés per resoldre el problema de tres malles té finalment les següents configuracions.
Fig.4. Resistència equivalent per a tres malles.
Aplicant solució a aquest últim s’arriba a
En un circuit de quatre malles la solució és Req = 21/13 R. s’identifica la presència de la sèrie de Fibonacci, Worner fa una demostració amb base a fraccions contínues, usant el fet que tot nombre irracional pot representar-se com a fracció contínua infinita, de tal manera que el nombre d’or s’escriu
Per al cas de l’circuit de la figura 3b es pot expressar com
i finalment per al circuit de la figura 4,
Una demostració més formal és l’efectuada en el llibre de problemes olímpics, aquí es proposa separar el circuit en dues seccions com es mostra a la figura 5.
Fig. 5. Una altra forma abreujada per configurar el circuit d’infinites resistències.
La part dreta de la figura 5 segueix sent una col·lecció infinita de resistències i té doncs és igual a la figura 1. Tal situació es pot representar com a la figura 6. Per tant, pot plantejar-se de la següent manera:
Fig. 6. Circuit que conté en la resistència equivalent totes les altres.
Així mateix es defineix una nova variable tal que Re = R + Req. Considerant el costat dret d’aquesta equació com la resistència equivalent buscada, llavors es té
Que a l’resoldre aquesta última s’arriba a req = ø R. Falta la tasca de buscar els voltatges i corrents a cada element de circuit.
Resistència que ofereix a el moviment un con truncat.
el problema aerodinàmic de Newton per cons truncats, com el de la part esquerra de la figura 7, la solució té una agradable sorpresa i és que es pot demostrar, segons Creu et al. (2010), que el con de mínima resistència és aquell que es construeix amb proporcions àuries. En aquest treball es troba una funció per representar la resistència aerodinàmica com a continuació es descriu en forma general.
Se suposa que el con roman immòbil i les partícules es mouen cap avall amb velocitat constant ν. Primer s’analitza el cas d’un cilindre de radi ri altura h, costat dret figura 7, els moments lineals abans i després de l’xoc seran p1 = mv i p2 = mv.
Fig. 7. Con truncat i cilindre, aquest últim és de més fàcil i ràpida solució.
Amb v = v. Només les partícules que es troben a una distància menor a vΔt de la base superior de l’cilindre poden xocar amb aquesta en el temps At. Sigui ρ la densitat de l’mitjà i V és el volum de l’cilindre de radi r i altura vΔt. Els autors defineixen Rcil com la resistència de l’cilindre i demostren clarament que està donada per Rcil = 2πρv2r2.
Per al cas d’un con truncat d’altura h amb base inferior de radi ri base superior de radi x, les col·lisions poden ocórrer en la base superior i al costat. Costat dret de la figura 8.
Sigui Rs la resistència sobre la base superior i Rc la resistència sobre el costat, llavors es té la resistència total R x serà la suma de les dues R x = R s + Rc .
Fig. 8. El resultat de el cilindre és útil per resoldre el con truncat.
Quan x = r s’ha de Rc = 0 per tant Rr = Rcil; a més usant el resultat per a un cilindre, es calcula en aquest treball, que la resistència de la superfície és Rs = 2πρv2x2.
Per obtenir la resistència el costat Rc, es pot observar com les partícules que xoquen contra el costat de el con en un temps At són les que estan en un “cilindre” buit, com el de la banda esquerra de la figura 8, el volum és el mateix que el de l’cilindre buit d’altura vΔt, de ràdio exterior ri radi interior x. Sota consideracions similars a el primer cas, afegint una anàlisi d’àlgebra i trigonometria bàsica, una funció tal que Rc = 2πρ r2- x2 v2cos2a.
A l’sumar Rs i Rc s’obté R x = 2πρv2x2 + r2 – x2 cos2a.
Usant la relació de l’cosinus a la figura 8,
Així mateix si es defineix K 2πρv2 es té llavors la funció de la resistència aerodinàmica,
Per a buscar el con truncat de mínima resistència s’ha de trobar el valor mínim de R (x) en l’interval 0 < x < r. Equival a trobar el mínim de la Eq. (21). Per modificar una mica la funció es suma i resta h2 en el numerador es té llavors,
I per tant, minimitzar f (x) per a 0 < x < r equival a maximitzar
la nostra contribució ara pot ser plantejada, es tracta de generar un con particular i poder facilitar el càlcul; per tant, es proposa una solució amb el mètode gràfic. De l’equació s’estableix un cas tal que h = r = 1, a l’substituir en la Eq. (23), la funció a derivar és
Primer es genera el seu gràfica en 0 < x < 1, tal com es mostra a la figura 9, que té un màxim entre 0,30 i 0.40. A l’derivar la Eq. (24) i igualar a zero, problema que equival a buscar l’arrel de l’equació derivada. Aplicant les ordres apropiats de Matlab, s’obté el zero de la funció.
Si es grafican l’equació (24) i (25), s’observa la seva validesa a la figura 10.
Fig. 9 Gràfica d’amb un màxim prop a 0.40
Fig. 10. S’observa l’arrel prop a 0.40
Per construir un con d’altura H i base de radi r, que a l’truncar a l’altura h produeixi un con de mínima resistència, es procedeix d’acord amb la figura 11. És fàcil determinar que l’alçada h ha d’estar donada per
Si es fa h = r, llavors h = tr . Amb 
.
Per al cas de el con de dimensió particular r = 1, h = 1, s’utilitza a la figura 11, on es pot observar com la dimensió de l’rectangle auri és consistent amb el cas particular. Per tant, el con de mínima resistència posseeix dimensions àuries. A la figura 12 es presenta el rectangle de el cas particular proposat.
Fig. 11. Mètode de construcció d’un rectangle auri.
Fig. 12. Rectangle auri que prova la validesa de el mètode reportat
Ara una altra forma de corroborar el resultat és usar l’angle d’un rectangle auri, on es pot observar que tan (90º – 58.28º) = 1o; la tasca següent és demostrar el resultat sense Matlab, és a dir mitjançant anàlisi algebraic.
DISCUSSIÓ DE RESULTATS
Dels resultats analitzats per a cada problema s’obté una anàlisi complementari dels autors consultats. En el circuit de l’escala semi-infinita de resistències òhmiques, la solució inductiva pot connectar-se amb l’ús de representació en fraccions contínues que fa Worner. En la solució de el problema olímpic falten baules per provar, principalment a l’construir l’equació de segon grau. També és possible resoldre el problema si es té una font de voltatge. En altres referències hi ha tractaments d’aquest tipus. Queda pendent el càlcul d’energia i intensitat en tot el circuit.
En el problema de el con truncat de mínima resistència es presenta una anàlisi, amb base a l’mètode de Jaume Cruz Sampedro. La nostra aportació prova la validesa de la proposta aplicant el seu resultat a un cas particular, això ens permet facilitar el càlcul de la derivada; a més, possibilita graficar i verificar mitjançant una tasca numèrica la veracitat de les formules consultades. És important en aquest cas efectuar totes les demostracions generades en l’obra de consulta, ja que constitueix una lliçó exemplar. La tasca que falta és provar l’equació (21), (22) i (23) mitjançant un camí diferent.
CONCLUSIONS
La divergència d’idees entre Falbo, Markowsky i Stakhov, té efectes positius en l’estudi del tema ja que els primers aconsegueixen despullar l’halo màgic atribuïble; però, és desitjable que prosperi la fonamentació de les matemàtiques harmòniques, el que implica un desafiament més gran.El nostre treball intenta demostrar el paper creixent de la seqüència de Fibonacci en la didàctica de la física i les matemàtiques d’una manera agradable, per tant es consideren els dos problemes amb utilitat en aquest context. El problema de l’circuit es pot estendre, a l’fer altres configuracions d’escales semi-infinites de condensadors o càlculs de voltatges. Per al cas d’aerodinàmica, el nostre plantejament es basa en la gràfica i la derivada resolta. La nostra col·laboració consisteix a demostrar el resultat consultat. El valor que maximitza la funció, s’inclou a l’traçar un rectangle auri. La nostra anàlisi té valor demostratiu amb ús de programari. És menester aclarir la possibilitat de sortir de l’context newtonià i explorar altres mètodes. Finalment, no defugir el comentari de les habilitats matemàtiques formatives involucrades en els dos exercicis, i les oportunitats que s’obren per convidar a explorar meravelles com els fractals de Mandelbrot i el llegat de Ramanujan.
REFERÈNCIES
Affleck I., Golden ràtio seen in a magnetic. Nature. 464, 362-363 (2010).
Alonso M. i Finn E., Fonamental University Physics, Vol. 2, Addison-Wesley (1967).
Benett A., Phi: The golden number (en línia) 1. Agost 2012, http://www.goldennumber.net/quantum-time. Phi point solution, LLC. USA (1997).
Bleher P.M., The energy level for two harmonic oscillators with golden pixen ràtio of frequencies. Journal of Statistical Physics. 61, 3-4, 869-876 (1990).
Buyukkhc F. i Dimirhan D., Cumulative diminuations with Fibonacci approach, golden section and physics. Int. J. Theor Phys (2008) 47, 606-616 (2008).
Coldea R. et al., Quantum criticality in an Ising Chain: Experimental evidence for Emergent E8 symmetry. Science 327, 177-181 (2010).
Creu J. i Tetlalmatzi M., POEM and Newton ‘s Aerodynamic frustum. The College Mathematics Journal 41, 2, 145-152 (2010).
Falbo C., The golden ràtio a contrary viewpoint. College Math. J. 36 123-134 (2005).
Halici S., On Complex Fibonacci quaternions. Adv. Appl. Clifford Algebras. Juny (2012).
Huylebrouck D., Similarities in irrationality Proofs for Amer Math. Monthly 108, 222-231 (2001).
Lleó Gomez N.A., Alguns elements matemàtics presents en el codi da Vinci. Paradigma gener 27 (2006).
Livi M., La proporció àuria. 10a Ed. Ariel Espanya (2002).
Markowsky G., Misconceptions about the golden ratio. College Math. J. 23 2-19 (1992).
Sanjinés Diego C., Successió generalitzada de Fibonacci aplicada a circuits tipus escala. Revista Boliviana de Física. 17, 41-46 (2010).
Societat Mexicana de Física. Problemes aplicats a les olimpíades de la SMF. Edit. SMF Mèxic (2007).
Stakhov A. P., The generalizated principle of the golden section and its applications in mathematics science and egineering. Chaos solitons Fractal 26 263-289 (2005).
Walser Hans., The Golden Section. Edit. The mathematical association of America. EUA (2001).
Worner C.H., La raó àuria i una escala semi-infinita de resistències. http://cabierta.uchile.cl/revista/17/educacion/edu4/index.html (1999).
Rebut Set 12, 2012; Acceptat 8 novembre 2012; Versió final rebuda Gen. 10, 2013.