Va començar jugant al KK Partizan de Belgrad, de Sèrbia. Juga d’aler, encara que donat a la seva altura pot jugar com a ala pivot, ja que mesurar 2,11 m (6 ’11 “) li dóna molta llibertat en el seu joc. Pot jugar a l’interior, postejant o fins i tot amenaçant amb el seu tir exterior. El 2010 van aconseguir arribar a la Final Four de l’Eurolliga, on en el seu primer partit de semifinals contra Olympiacos van perdre en la pròrroga 80-83, i amb Jan fent 22 punts de valoració, després al partit de 3a i 4ªpuesto també van perdre contra el PBC CSKA Moscou per 90-88.
el 2011, després de la sortida dels dos millors jugadors de l’equip, Bo McCalebb i Aleks Marić, Vesely es va quedar com a jugador estrella de l’equip.
en el Draft de l’NBA de 2011 va ser seleccionat en el lloc # 6 pels Washington Wizards.
Després de dues temporades i mitja a Washington, el 20 de febrer de 2014, Vesely va ser traspassat a Denver Nuggets en un traspàs a tres bandes.
Vesely acabaria la temporada a Denver, però a l’estiu de 2014, decideix tornar a Europa. Pel que el 5 d’agost de 2014, Vesely signa un contracte de dos anys amb el Fenerbahçe de la Lliga Turca.
Amb la selecció nacionalEditar
És internacional amb la selecció de bàsquet de la República Txeca i ha disputat els Campionat d’Europa de bàsquet masculí de 2013 i 2015.