El curs segueix avançant i els meus ja han acabat la part d’àlgebra i han realitzat el tan temut examen de problemes d’equacions i sistemes d’equacions.
La veritat és que és curiós que els preguntin diverses vegades al llarg d’un curs per a què serveix certa branca de les matemàtiques, o les matemàtiques en general, i quan arriba la resolució de problemes, que mostra clarament una utilitat de les matemàtiques, no la gaudeixin, la odiïn i fins i tot l’abandonin. (Així és, hi ha alumnes que assumeixen que van a suspendre aquest examen i decideixen no preparar-lo. Què estarem fent malament que l’esforç està tan menyspreat?)
En aquesta ocasió, tenia clar que la història que volia explicar-los era la de les matemàtiques índies ja que d’el llibre Lilavati, que Bhaskara Acharia dedica a la seva filla, faríem alguns problemes. Així que com a repte motivador els vaig proposar un d’aquests problemes, que us animo a resoldre:
a més, i segons he pogut comprovar, no reconeixen la importància de l’nombre 0, ni coneixen com es va introduir en el nostre sistema de numeració. De fet, sabien que el nostre sistema és el indoaràbic, però no sabien en quin moment vam canviar dels nombres romans (sistema no posicional additiu) als nostres sistema posicional, ni per què ho vam fer. Vaig haver de plantejar-los a la pissarra la suma IV + X en vertical perquè es fessin una idea de la dificultat que té sumar utilitzant un sistema no posicional additiu. Però, bé, passem a la història:
628 d. C. Ujjain, a nord-oest de l’Índia. Brahmagupta, director de l’observatori astronòmic de la ciutat i home d’alta posició i prestigi, està acabant el seu llibre Brahma-sphuta-Siddhanta (Doctrina de Brahma correctament establerta), però li queda un serrell, i bastant gros, per rematar: com distingir el vint-i-, el dos-cents set o el dos-cents setanta, si no hi ha un símbol per al zero? Per molt ben establerta que tingués la seva doctrina i per molt altisonant títol que tingués el seu llibre, sense zero, no hi havia llibre. I és que us heu parat a pensar la importància que té el zero per a les matemàtiques? Intenteu respondre a la pregunta responsable dels desvetllaments de Brahmagupta i us posareu a fer una idea.
No hi ha cap dubte que, des de l’antiguitat, les matemàtiques han estat presents en la nostra vida, tot i que a molts els pesi i, com diu Clara Grima, encara no hagin descobert que els agraden.
A del principi el seu ús era rudimentari: tinc tres vaques, 10 ovelles i dotze gallines, a més el meu hort mesura quinze peus de llarg i divuit d’ample, però peus dels meus eh ?, no dels de l’ fill petit de l’veí. Després, amb els egipcis i els babilonis la cosa es va complicar una mica perquè van començar a usar fraccions. Només van usar les positives i amb un un en el numerador, però, vaja, ja havia d’aprendre més regles de càlcul. A més, van començar a usar també les àrees. Quan el riu Nil es desbordava i calia tornar a dividir les parcel·les, què importava la forma de la parcel·la si tenia la mateixa superfície? En definitiva, que es van trobar nous usos de les matemàtiques, però, això, usos empírics i en situacions determinades. Cap interès per justificar les lleis emprades o definir de manera precisa i general les operacions utilitzades. Si em funciona a mi i aquí, ¿per què em vaig a preocupar que li funcioni a algú que no conec que estigui en un lloc que tampoc conec?
Els grecs si van mostrar molta preocupació pel rigor i la generalització de propietats, però per totes aquelles que tinguessin a veure amb la geometria. Estaven tan absorts i absorbits per ella que van dedicar tots els seus esforços a fonamentar la geometria i van deixar de costat l’àlgebra. Només a la fi de l’època d’esplendor grega, Diofant (s. III dC) va tornar a la tradició dels calculadors professionals, arribant a enunciar les regles per al càlcul de potències, la regla dels signes, realitzant operacions, per primera vegada, amb nombres negatius i utilitzant, també per primera vegada, un símbol literal per representar una incògnita en una equació.
Diofant, de la vida sabem molt poc, va haver de ser un catxondo i la sal de totes les festes, fins i tot la del seu funeral, perquè per esbrinar l’edat a la que va morir va permetre que a la seva tomba gravessin un epitafi la mar de curiós, i matemàtic, és clar:
Caminant! Aquí hi ha les tombes de Diofant. Els nombres poden mostrar, oh meravella! La durada de la seva vida, la sisena part va constituir la bella infància. Hi havia transcorregut més una dotzena part de la seva vida quan es va cobrir de pèl la seva barba. A partir d’aquí, la setena part d’existència va transcórrer en un matrimoni estèril.Va passar, a més, un quinquenni i llavors li va fer feliç el naixement del seu primogènit. Aquest va lliurar el seu cos i la seva bella existència a la terra, havent viscut la meitat del que el seu pare va arribar a viure. Per la seva banda Diofant va descendir a la sepultura amb profunda pena havent sobreviscut quatre anys al seu fill.
Digues-me, caminant, quant anys va viure Diofant fins que li va arribar la mort.
Des Diofant fins al s. XVI, amb els algebristes italians (veure Dols Matemàtics de la s. XVI), no es produeixen grans avenços en l’àlgebra. Cal que es desenvolupi la notació algebraica, que s’ampliï la noció de nombre i que apareguin el zero, els números negatius i, posteriorment, els números imaginaris, per poder expressar definicions rigoroses, lleis abstractes i realitzar generalitzacions. I aquí és on tornem a el principi de la nostra història: a l’aparició de l’zero i dels números negatius, gràcies als matemàtics indis.
Els indis, de l’Índia (no els de les plomes d’Amèrica del Nord, que tenien altres maneres de comptar i altres sistemes de numeració. per exemple, els indis Yuki de Califòrnia tenien un sistema de numeració quaternari, comptant els buits de separació entre els dits) sempre van usar el sistema decimal i van tenir especial predilecció pels números grans i per realitzar operacions amb ells. Segons expliquen les llegendes, Buda destaca per la seva extraordinària capacitat per calcular, arribant a construir un sistema de numeració fins \, donant un nom a cada classe.
El període més excel·lent de la matemàtica índia va ser el comprès entre els segles V i XII, on van treballar, entre d’altres, els matemàtics i astrònoms: Aryabhata (finals de s. V), Brahmagupta (598-670) i Bhaskara Acharia (1114-1185).
Si alguna cosa destaca de les obres d’aquests matemàtics, a més del contingut matemàtic pròpiament dit, és que estan escrites en sànscrit i en vers. Perquè ¿qui ha dit que matemàtiques i literatura són coses diferents i han d’anar separades? Les obres d’aquests matemàtics són una mostra de com es pot escriure poesia matemàtica o matemàtica poètica.
Aryabhata, que va viure com Brahmagupta a nord-oest de l’Índia, va néixer al 476, en Taregana, a 30 km de l’actual Patna, és considerat el primer gran astrònom i matemàtic indi i mestre de tots els que van seguir els seus passos. Les seves obres formulen les regles de la matemàtica elemental: aritmètica, geometria i trigonometria.
Bhaskara, va néixer a Bijjada Bida, avui conegut com Bijapur, en 1114, i va morir a Ujjain a 1185, després d’haver estat, com Brahmagupta, cap de l’observatori astronòmic de la mateixa ciutat i fundador d’una escola d’astronomia i matemàtiques. Se’l considera l’últim dels matemàtics clàssics de la Índia. Va descobrir el doble signe de les arrels quadrades i es va adonar que no passava el mateix quan el radicand era negatiu. Dels sis llibres coneguts de Bhaskara, destaquen dos: Lilavati (Bella) i Vijaganita (Àlgebra).
Lilavati l’hi dedica a la seva filla, d’aquí el seu nom -o la ceguesa de el pare, perquè no sabem si la filla era realment guapa-, i, seguint la tradició, l’escriu en sànscrit i en forma de poema. Els tretze capítols de el llibre tracten diferents temes com: la metrologia, les operacions amb nombres enters i fraccions, l’extracció d’arrels, problemes d’estanys i mescles, sumació de sèries, càlcul de volums, problemes de combinatòria, … En definitiva, que li regalar a la seva filla un “resum” de totes les matemàtiques que sabia.
Vijaganita té vuit parts i en ell Bhaskara va introduir la idea dels nombres infinitament grans. per això, ha considerat la divisió per zero, \, i va explicar que el resultat és també un nombre, però un nombre que no pateix canvis a l’sumar-li o restar-li altres números. Segons ell, se li pot comparar amb el temps etern de la cadena infinita d’existències. el que hem dit: que els matemàtics indis eren uns meravellosos poetes: a més d’ensenyar matemàtiques, intentaven enamorar d’i amb elles.
Bramahgupta va néixer a Ujjain al 590 i és considerat el matemàtic més gran d’aquesta època, entre altres mèrits, per haver ideat el concepte de zero -si no, no hagués acabat el seu llibre- i el de nombre negatiu. Per a ell els números poden tractar-se com pertinences o deutes. Així, les regles de les operacions amb els nombres són les següents:
- La suma de dos pertinences és una pertinença.
- La suma de dos deutes és un deute.
- La suma d’una pertinença i un deute és la seva diferència i si són iguals és zero.
- La suma el zero i un deute és un deute.
- La suma el zero i una pertinença és una pertinença.
- el producte de dues pertinences o dos deutes és una pertinença.
- el producte d’una pertinença per un deute és un deute.
- La divisió de dues pertinences o dos deutes és una pertinença.
- La divisió d’una pertinença per un deute és un deute.
- El quadrat d’una pertinença o un deute és una pertinença.
- La pertinença té dues arrels : un constitueix una pertinença i l’altra un deute.
- l’arrel quadrada d’un deute no existeix, ja que un deute no pot ser un quadrat.
malgrat d’haver introduït els números negatius, els matemàtics indis no els utilitzaven com a elements matemàtics, sinó com a elements lògics, ja que segons Bhaskara les persones no estan d’acord amb ells.
quant a l’zero, hem de dir que en la civilització occidental (i en altres) existia abans que Fibonacci ho copiés dels matemàtics àrabs, però el seu ús era parcial, indicant gairebé sempre l’absència de quantitat. El que marca la diferència a partir de l’ús que li donen els matemàtics indis és que ells ho consideren també com a element neutre de la suma i el s’insereixen en el sistema numèric posicional. Per aquest motiu puguem distingir el 27, de l’207 de l’270, i que Brahmagupta pogués publicar el seu llibre i tornar a dormir tranquil, tot s’ha de dir. 😉