La definició depèn de si un està treballant en temps discret o continu. Veurem que per a la funció d’utilitat CRRA, els dos enfocaments donen la mateixa resposta. Els següents formularis funcionals suposen que utilitat de l’consum és additivament separable en el temps.
Temps discretoEditar
La utilitat total al llarg d’una vida ve donada per:
U = Σ t = 0 T β teva (ct) {\ displaystyle U = \ sum _ {t = 0} ^ {T} \ beta ^ {t} o (c_ {t})}
En aquest context, la taxa d’interès real ve donada de la següent condició:
Q u ‘(ct) = Q β R o’ (ct + 1) {\ displaystyle Qu ‘(c_ {t}) = Q \ beta Ru’ ( c_ {t + 1})}
Una quantitat de diners Q {\ displaystyle Q}
costos invertits avui Q u ‘(ct) { \ displaystyle Qu ‘(c_ {t})}
unitats d’utilitat, pel que han de cedir el pas exactament aquest nombre d’unitats d’utilitat en el futur quan es guarda en la taxa d’interès brut que preval R {\ displaystyle R}
. (Si es va produir més, llavors l’agent va poder fer-se millor per estalviar més.)
Resolent per a la taxa d’interès real, veiem que
R = o ‘(ct) β o’ (ct + 1) { \ displaystyle R = {\ frac {u ‘(c_ {t})} {\ beta o’ (c_ {t + 1})}}}
En logaritmes, tenim
r = – ln – ln β {\ displaystyle r = – \ ln {\ left} – \ ln {\ beta}}
Els registres estan molt a prop de les variacions percentuals, de manera que podem interpretar r com un tipus d’interès net com el 5%, mentre que R és la taxa d’interès brut corresponent com 1.05.
l’elasticitat de substitució intertemporal es defineix com el canvi percentual en el creixement de l’consum per cent d’augment en la taxa d’interès net:
∂ ln ( ct + 1 / ct) ∂ r {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ ln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {\ partial r}}}
Substituint en l’equació log anterior, podem veure que aquesta definició és equivalent a l’elasticitat de el creixement de l’consum pel que fa a el creixement de la utilitat marginal:
– ∂ ln (ct + 1 / ct) ∂ ln (o ‘(ct + 1) / o ‘(ct)) {\ displaystyle – {\ frac {\ partial \ ln (c_ {t + 1} / c_ {t})} {\ partial \ ln (o’ (c_ {t + 1}) / o ‘ (c_ {t}))}}}
