Avui publiquem per fi la solució i els finalistes i guanyador de l’desafiament del pendent infinita que plantegem fa unes tres setmanes. La primera pregunta de l’desafiament era relativament senzilla: quin és l’expressió de l’angle $ \ theta $ que forma la direcció de moviment de l’objecte amb la direcció “costa avall”?
La relativa senzillesa es devia, sobre tot, a el fet que encara no coneixem aquesta expressió sí sabem seu valor inicial i el seu valor a el cap d’un temps molt llarg. Inicialment se’ns indicava que la direcció era perpendicular a la “costa avall”, després $ \ theta (0) = 90 ^ {\ circ} $, i l’angle tendeix, segons passa el temps, a fer-se més i més petit, fins que en el límit d’un temps infinit aconsegueix el valor $ \ theta (\ infty) = 0 ^ {\ circ} $. De manera que, després d’obtenir una expressió de l’angle en funció de el temps, era possible a el menys -encara que no assegurés que la resposta fos correctament comprovar que els seus valors per a un temps nul i un temps molt gran fossin els correctes.
Molts de vosaltres heu respost correctament a aquesta pregunta, que era el requisit per a rebre la segona. No obstant això, alguns heu explicat el procés estupendament bé. Una explicació claríssima és la d’un dels finalistes, José Manuel:
Abans de res, vam realitzar un esquema de la situació i trobem l’expressió de l’angle θ . En el meu cas he cridat VX a la velocitat en el sentit del pendent i VY al seu perpendicular al pla. Recordem que l’objecte té una velocitat inicial V0 precisament en la direcció i.
$ tan \ theta = \ frac {v_y} {v_x} \ Rightarrow \ theta = lliguen \ frac {v_y} {v_x} $
en el cas ideal en què no hi ha fregament, ni amb la superfície ni amb l’aire, ambdues velocitats poden analitzar de manera totalment independent. Per què? Fem una ullada a les forces que entren en joc:
Com veiem, les úniques forces sobre el cos són la de la gravetat FG (descomposta en les components X i Z) i la força normal N, que és la que fa el pla sobre el cos i impedeix que aquest ho travessi. Sense fregament, no hi ha cap força en l’eix Y. La normal i la component de la força de la gravetat s’anul·len en Z, de manera que l’única força resultant és la component de l’pes en X. És una cosa semblant al que passa quan s’estudia un tir parabòlic: es considera la composició de dos moviments, un amb velocitat constant i un altre perpendicular, uniformement accelerat.
Trobem, per tant, la força resultant en X. Només cal conèixer l’expressió de la força de la gravetat i trobar la seva projecció. M és la massa de l’objecte i g l’acceleració de la gravetat:
$ F_g = mg \ Rightarrow F_X = mg \ sin \ alpha $
Apliquem la segona llei de Newton:
$ F_x = A_x m \ Rightarrow a_x = \ frac {F_X} {m} $
Ara, atès que només hi ha una força constant en aquesta direcció, estem davant d’un moviment uniformement accelerat. Com més la velocitat inicial en aquesta direcció és nul·la:
$ v_x = A_x t $
De manera que:
$ v_x = g (\ sin \ alpha) t $
Com es pot veure, la velocitat en X és independent de la massa. Suposo que Galileu asentiría satisfet.
La velocitat en l’eix I la coneixem des del principi. Si, com hem dit, no hi ha forces aplicades en aquest eix, el cos se seguirà movent en aquesta direcció amb la seva velocitat inicial (Primera Llei de Newton).
$ v_y = V_0 $
Per tant ja tenim dues velocitats. θ queda:
$ \ theta = lliguen \ frac {V_0} {g (\ sin \ alpha) t} $
si vols llegir la solució de José Manuel amb calma i amb el format original, que és millor que el que jo mostro aquí, pots descarregar-la aquí: solució JM.
Els que vau contestar correctament a aquesta pregunta rebre la segona part , que era així:
Considera la següent modificació a el problema: la situació és igual que abans, però ara hi ha fregament. El coeficient dinàmic de fregament amb el pla inclinat és mu = tg30º (la tangent de 30º, si no es llegeix bé). I la pregunta és – ¿quin serà el valor de l’angle theta a el cap d’un temps molt, molt llarg (pots considerar-infinit)?
Aquí és, per cert, on vaig dubtar entre aquesta pregunta i una altra i a l’ final vaig ficar la pota i us vaig dir que teníeu la resposta mal a molts que la teníeu bé … ruc que és un. El cas és que la resposta a la pregunta era que l’angle tendeix a el mateix valor que abans, és a dir, zero graus: l’objecte acaba movent-se exactament en la mateixa direcció que sense fregament, en direcció “costa avall”.
Abans d’incloure la resposta d’algun finalista, una nota que pot servir-vos als que vau respondre malament: la força de fregament es dirigeix sempre en contra de el moviment. Alguns vau escriure l’expressió de la força de fregament en la direcció costa avall i no en la perpendicular, i alguns la incluisteis en ambdues però amb valor $ 5m $ en cadascuna, però tant una cosa com l’altra està malament.
de fet el problema amb aquesta segona pregunta era que, atès que la direcció de moviment de el cos canvia amb el temps, la direcció de la força de fregament també ho fa, de manera que els seus components X i Y sobre el pla tenen expressions que varien en el temps segons la velocitat de l’objecte gira. El mòdul de la força de fregament és constant, però la seva direcció no.
Fixa’t que en aquest cas no es demanava, com en la primera pregunta, l’expressió de θ en funció de el temps, sinó simplement el seu valor en el límit d’un temps infinit. Era possible raonar com va fer el segon finalista, Bevender:
Si $ \ mu $ és tg30º, llavors la força de fregament és $ \ mu $ Normal = tg 30º cos 30º10 m / s ^ 2masa = 5 m newtons.
Casualment el mòdul de la força de fregament i la força de caiguda cap avall són el mateix (5 * massa newtons). . No obstant això, la direcció és diferent, al menys a el principi, ja que la força de fregament és paral·lela a el moviment amb sentit contrari.
Trobar el vector força de fregament en els meus coordenades 2D, equival a trobar 5 * m (cos θ, sin θ), on θ és l’angle que forma el moviment. ¡Inclòs l’efecte de la fricció!
Jo no fer això. Però si veig clar que mentre el cos es mogui en direcció “no costa avall”, la força de fregament seguirà desgastant a la component OY paral·lela a la velocitat original v0, mentre que la component OX seguirà tenint una acceleració positiva.F.caída + F.rozamiento = (5m-5mcosθ, -5msenθ)
a el menys mentre θ sigui estrictament més gran que zero.
Per petit que sigui θ, si és més gran que zero, a el segon següent serà encara menor, i el moviment s’anirà tornant cada vegada més costa avall. i aquí veig dues opcions:
O no s’arriba al zero, però pel que s’ha dit en el paràgraf anterior el límit és zero. O s’arriba al θ = 0, de manera que les forces es compensen i el nostre moviment es converteix en un moviment de velocitat uniforme (acceleració zero).
en qualsevol cas, l’objecte acabaria lliscant “costa avall” a velocitat constant (o això semblaria a qualsevol que mirés suficient estona).
Finalment, als que vau respondre correctament a aquesta pregunta us va arribar la tercera:
Efectivament, després de molt llarg temps l’objecte es mou completament “costa avall” i l’angle és 0. Ara et dic alguna cosa jo (encara que m’agradaria que poguessis demostrar-, si bé no és part de l’desafiament): després d’aquest molt llarg temps la velocitat serà constant. I la pregunta final és: ¿quina és aquesta velocitat constant després de molt de temps?
Aquesta pregunta era molt més punyetera que l’anterior, perquè d’intentar obtenir una expressió de la velocitat en funció de el temps s’obtenia un monstruaco aterridor. Davant aquest horror hi havia dues opcions: una era utilitzar l’anàlisi numèric (un programa d’ordinador fet a casa, un full de càlcul, etc.), i l’altra era adonar-se d’alguna cosa molt curiós i important i actuar en conseqüència.
Els dos finalistes les solucions he mostrat, Bevender i José Manuel, van utilitzar aproximacions numèriques, i tots dos van obtenir la resposta correcta d’aquesta manera: la velocitat a la qual tendeix l’objecte és la meitat de la velocitat amb la qual va començar .
Però hi ha una demostració analítica elegantíssima, que és la que ha obtingut l’equip guanyador, format per Mmonchi i la seva filla. Com un Max Planck qualsevol, Mmonchi va obtenir numèricament la mateixa solució que els finalistes, i imagino que com ells es va sorprendre de l’aparent casualitat que la velocitat final fos la meitat de la inicial. Però, com pensava Planck, hi ha poques casualitats en Física.
De manera que Mmonchi va tornar a mirar el problema i va trobar la demostració elegant que us deixo aquí. L’explicació de la solució no és seva, per cert, sinó de la seva filla, el nom no m’atreveixo a posar aquí perquè se m’ha oblidat demanar-li permís a ell. Sort, per cert, per al seu examen -el seu pare malèvol va utilitzar el desafiament com a entrenament per a aquest examen, demostrant així la duresa del seu cor -.
La negreta d’èmfasi és meva perquè aquesta frase és la que hauria fer “encesa de bombeta” en els que gairebé vau arribar a això:
a la segona part tenim un cos que rep dues forces paral·leles a la superfície de l’àmbit. la primera força és corresponent a la gravetat que actua en la direcció costa avall. Aquesta és igual a: m · a · sen30º = 5 m.La segona força és corresponent a la fricció que actua en direcció contrària a el moviment (V (t)), que forma un angle θ (t) amb el pendent. Val tg30º · N · cos30º = 10m · sen30º, que és igual a 5m.
La força “costa avall” (Fca) és igual a la força en direcció a la velocitat (FV), per la qual cosa l’acceleració de el cos es pot dividir en dues acceleracions del mateix valor. Una a la mateixa adreça de Vca, i una altra en direcció contrària a V.
la velocitat Vca (t) després d’un interval At serà igual a V CA (t + At) = V CA (t) + aΔt, i la de V (t) serà igual a V (t + At) = V (t) -aΔt. Aquestes dues acceleracions són iguals, per la qual cosa aΔt = V CA (t + At) -Vca (t) = V (t) -V (t + At). D’aquí arribem a V (t) + V CA (t) = V (t + At) + V CA (t + At ), que significa que la suma de V i V CA és constant.
Com en l’instant inicial V (0) = V0, i Vca (0) = 0 també, hem de V + V CA = V0.
Sabem per trigonometria que Vca = Vcosθ. per aquest motiu vam arribar al fet que V + V CA = V + Vcosθ = V (1 + cosθ) = V0, i per aquest motiu V = V0 / (1 + cosθ) .
Volem saber a quin valor tendeix l’angle θ. Per això prenc com a origen de coordenades d’un punt que es desplaça costa avall mantenint-se a l’altura de l’cu erpo. El cos es desplaça per aquest eix X amb una velocitat inicial (V0), i es va frenant en el seu moviment, ja que hi ha fregament. Com que no hi ha res que faci augmentar la seva velocitat i va frenant, la velocitat tendeix a 0. Després d’un temps suficientment gran la velocitat en l’eix X serà poc apreciable enfront de la velocitat costa avall, de manera que l’angle que formarà la velocitat total amb la direcció costa avall tendirà a 0.
Per tant, després d’un temps molt llarg la velocitat serà V = V0 / (1 + cos0) = V0 / 2.
Podeu llegir l’explicació completa, que inclou la resposta a la primera pregunta, aquí.
Espero que us hagueu divertit com bellacos lluitant amb aquest desafiament, i que recordeu que l’important no és arribar a la solució correcta sinó donar-li a les cèl·lules grises. Enhorabona als finalistes i els guanyadors, ¡i fins al pròxim desafiament!